试题分析:本题主要考查导数的运算、利用导数求曲线的切线、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的最值、恒成立问题等基础知识,考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力,考查学生的分类讨论思想、函数思想.第一问,对 求导,将切点的横坐标代入得到切线的斜率,再将切点的横坐标代入到 中,得到切点的纵坐标,利用点斜式得到切线的方程;第二问, 在定义域 内是增函数,只需 在 恒成立,对 求导,由于分母恒正,只需分子 在 恒成立,设函数 ,利用抛物线的性质求出 ,令 即可,解出P的值;第三问,先通过函数 的单调性求出 的值域,通过对P的讨论研究 的单调性,求出 的值域,看是否有值大于 的最小值为2. (1)当 时,函数 , .
,曲线 在点 处的切线的斜率为 . 从而曲线 在点 处的切线方程为 ,即 .…4分 (2) . 令 ,要使 在定义域 内是增函数,只需 在 内恒成立. 由题意 , 的图象为开口向上的抛物线,对称轴方程为 ,∴ , 只需 ,即 时,![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191017/20191017113929-44984.png) ∴ 在 内为增函数,正实数 的取值范围是 .……9分 (3)∵ 在 上是减函数, ∴ 时, ; 时, ,即 , ①当 时, ,其图象为开口向下的抛物线,对称轴 在 轴的左侧,且 ,所以 在![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191017/20191017113931-36239.png) 内是减函数. 当 时, ,因为![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191017/20191017113931-36239.png) ,所以 , , 此时, 在![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191017/20191017113931-36239.png) 内是减函数. 故当 时, 在 上单调递减 ,不合题意; ②当 时,由 ,所以 . 又由(2)知当 时, 在 上是增函数, ∴ ,不合题意; ③当 时,由(2)知 在 上是增函数, , 又 在 上是减函数,故只需 , , 而 , , 即 ,解得 , 所以实数 的取值范围是 . 14分 |