试题分析: (1)分析题意,可得该三次函数过原点,根据函数 与x轴相切,所以有个极值为0且有一个重根,故可得函数 有一个极大值0和一个极小值 ,有一个重根,则对 因式分解会得到完全平方式,即 提取x的公因式后,剩下二次式的判别 ,得到a,b之间的关系式,再根据极小值为 ,则求导求出极小值点,得到关于a,b的另外一个等式,即可求出a,b的值. (2) ①对 求导,带入 与已知条件 联立化简即可得到需要的不等式. ②求出 ,讨论a的取值范围,证明 其中必有两者异号,则根据零点存在定理,即可证明 有极值点. 试题解析: (1) , 依据题意得: ,且 . 2分
,得 或 . 如图,得 , ∴ , , 代入 得 , . 4分
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191017/20191017121221-94004.png) ![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191017/20191017121221-98684.png) (2)① .
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191017/20191017121222-80194.png) ![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191017/20191017121222-66768.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191017/20191017121222-43028.png) . 8分 ② , . 若 ,则 ,由①知 , 所以 在 有零点,从而 在 上存在极值点. 10分 若 ,由①知 ; 又 , 所以 在 有零点,从而 在 上存在极值点.……12分 若 ,由①知 , , 所以 在 有零点,从而 在 上存在极值点. 综上知 在 上是存在极值点. 14分 |