试题分析:(1)求函数 的图像在点 处的切线方程,只需求出斜率 即可,由导数的几何意义可知, ,因此对函数 求导,得 ,求出 的斜率,由点斜式可得切线方程;(2)求函数 的单调区间,可先求出函数的导数 ,由于函数中含有字母 ,故应按 的取值范围进行分类讨论研究函数的单调性,给出单调区间;(3)由题设条件结合(2),将不等式, 在 时成立转化为 成立,由此问题转化为求 在 上的最小值问题,求导,确定出函数的最小值,即可得出 的最大值.本题解题的关键一是应用分类的讨论的方法,第二是化归思想,将问题转化为求函数的最小值问题. 试题解析:(1) , ,![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191017/20191017122525-83969.png) 函数 的图像在点 处的切线方程为![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191017/20191017122525-30913.png) (2) . 若 ,则 恒成立,所以, 在区间 上单调递增. 若 ,则当 时, ,当 时, , 所以, 在区间 上单调递减,在 上单调递增. (3)由于 ,所以,![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191017/20191017122526-81630.png) 故当 时, ① 令 ,则![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191017/20191017122527-81327.png) 函数 在 上单调递增,而![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191017/20191017122528-43051.png) 所以 在 上存在唯一的零点,故 在 上存在唯一的零点. 设此零点为 ,则 .当 时, ;当 时, ; 所以, 在 上的最小值为 .由 可得![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191017/20191017122530-65666.png) 所以, 由于①式等价于 . 故整数 的最大值为2. |