试题分析:(Ⅰ). 由,得,此时. 当时,,函数在区间上单调递增; 当时,,函数在区间上单调递减. 函数在处取得极大值,故. 3分 (Ⅱ)令, 4分 则.函数在上可导,存在,使得. 又 当时,,单调递增,; 当时,,单调递减,; 故对任意,都有. 8分 (Ⅲ)用数学归纳法证明. ①当时,,且,, ,由(Ⅱ)得,即 , 当时,结论成立. 9分 ②假设当时结论成立,即当时, . 当时,设正数满足令, 则,且.
13分 当时,结论也成立. 综上由①②,对任意,,结论恒成立. 14分 点评:难题,利用导数研究函数的单调性、极值、最值,是导数的应用中的基本问题。本题(III)应用数学归纳法证明不等式,难度较大。涉及对数函数,要特别注意函数的定义域。 |