解:(Ⅰ)当时, ,……………………2分 , 所以曲线在点处的切线方程为. ……………4分 (Ⅱ),令,解得 ……………6分 因为,以下分两种情况讨论: (1)若变化时,的变化情况如下表: 所以,的单调递增区间是的单调递减区间是.………8分 (2)若,当变化时,的变化情况如下表: 所以,的单调递增区间是的单调递减区间是……………………………………………10分 (Ⅲ)由(Ⅱ)可知,当时,在内的单调递减,在内单调递增, 以下分两种情况讨论: (1)当时,在(0,1)内单调递减, . 所以对任意在区间(0,1)内均存在零点.………………………12分 (2)当时,在内单调递减,在内单调递增, 若, . 所以内存在零点. 若. , 所以内存在零点. …………………13分 所以,对任意在区间(0,1)内均存在零点. 综上,对任意在区间(0,1)内均存在零点. …………………14分 |