(本小题满分12分)已知定义在R上的函数的图像关于原点对称,且x=1时,f(x)取极小值.(Ⅰ)求f(x)的解析式;(Ⅱ)当x∈[-1,1]时,图像上是否存在两
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(本小题满分12分)已知定义在R上的函数的图像关于原点对称,且x=1时,f(x)取极小值.(Ⅰ)求f(x)的解析式;(Ⅱ)当x∈[-1,1]时,图像上是否存在两
题型:不详
难度:
来源:
(本小题满分12分)
已知定义在R上的函数
的图像关于原点对称,且x=1
时,f(x)取极小值
.
(Ⅰ)求f(x)的解析式;
(Ⅱ)当x∈[-1,1]时,图像上是否存在两点,使得在此两点处的切线互相垂直?证明你的结
论.
答案
解:(Ⅰ) 因为函数
的图像关于原点对称,
所以
对任意
恒成立,
即
对任意
恒成立,
所以
恒成立,故
,…………………3分
故
,
又
时,
取极小值
,所以
,且
,
所以
………………①
……………………②
解得:
,
;
所以
,(
)…………………………………………………6分
(Ⅱ)当
时,图像上不存在两点使得过此两点处的切线互相垂直.
证明如下:(方法1,用反证法)
①假设在
的图像上存在两点
,
,使得在此两点处的切线互相垂直,由(Ⅰ) 可知
,且在
两点处的切线斜率均存在.
由假设
则有
,…………………………8分
从而
,
另一方面,
,所以
,所以
,
与前式显然矛盾.所以,
当
时,图像上不存在两点使得在此两点处的切线互相垂直.………………12分
(方法2)
设
,
为
的图像上两点,由(Ⅰ) 可知
,
且在点
和点
处的两条切线的斜率均存在.
不妨设在点
处的切线斜率为
,在点
处的切线斜率为
,
则
,
;………………8分
所以
,
由题意,
,
所以
,即
综上所述,当
时,图像上不存在两点使得在此两点处的切线互相垂直.……12分
解析
略
举一反三
(文)已知函数
f
(
x
)的导数为
f
′(
x
),若
f
′(
x
)<0(
a
<
x
<
b
)且
f
(
b
)>0,则在(
a
,
b
)内必有( )
A.
f
(
x
)=0
B.
f
(
x
)>0
C.
f
(
x
)<0
D.不能确定
题型:不详
难度:
|
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(文)曲线
f
(
x
)=
x
3
+
x
-2在
p
0
点处的切线平行于直线
y
=4
x
-1,则
p
0
点的坐标为( )
A.(-1,0)
B.(0,-2)
C.(-1,-4)或(1,0)
D.(1,4)
题型:不详
难度:
|
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(本小题满分16分)定义在
上的函数
,如果满足:对任意
,存在常数
,都有
成立,则称
是
上的有界函数,其中
称为函数
的上界.
已知函数
;
.
(1)当
时,求函数
在
上的值域,并判断函数
在
上是否为有界函数,请说明理由;
(2)若函数
在
上是以3为上界的有界函数,求实数
的取值范围;
(3)若
,函数
在
上的上界是
,求
的取值范围.
题型:不详
难度:
|
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把
表示成
个连续正整数的和,求项数
的最大值.
题型:不详
难度:
|
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设
,
是函数
(
)的两个极值点,且
.
(1)求证:
;(2)求证:
;
(3)若函数
,求证:当
且
时,
.
题型:不详
难度:
|
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