已知函数f（x）=-lnx，x∈（0，e）．在曲线y=f（x）上某一点作切线与x轴和y轴分别交于A、B两点，设O为坐标原点，则△AOB面积的最大值为______

题型：不详难度：来源：

已知函数f（x）=-lnx，x∈（0，e）．在曲线y=f（x）上某一点作切线与x轴和y轴分别交于A、B两点，设O为坐标原点，则△AOB面积的最大值为______．

答案

设切点为（t，f（t））
由已知 f′(x)=-

1

x

，
所以曲线y=f（x）在点（t，f（t））处的切线方程为 y+lnt=-

1

t

(x-t)．
令y=0，得A点的横坐标为x_A=t（1-lnt），
令x=0，得B点的纵坐标为y_B=1-lnt，
当t∈（0，e）时，x_A＞0，y_B＞0，
此时△AOB的面积 S=

1

2

t(1-lnt)2，S′=

1

2

(lnt-1)(lnt+1)，
解S"＞0，得 0＜t＜

1

e

；解S"＜0，得

1

e

＜t＜e．
所以 (0，

1

e

)是函数 S=

1

2

t(1-lnt)2的增区间； (

1

e

，e)是函数的减区间．
所以，当 t=

1

e

时，△AOB的面积最大，最大值为

1

2

×

1

e

(1-ln

1

e

)2=

2

e

．
故答案为：

2

e

．