已知函数f(x)=-lnx,x∈(0,e).在曲线y=f(x)上某一点作切线与x轴和y轴分别交于A、B两点,设O为坐标原点,则△AOB面积的最大值为______
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已知函数f(x)=-lnx,x∈(0,e).在曲线y=f(x)上某一点作切线与x轴和y轴分别交于A、B两点,设O为坐标原点,则△AOB面积的最大值为______. |
答案
设切点为(t,f(t)) 由已知 f′(x)=-, 所以曲线y=f(x)在点(t,f(t))处的切线方程为 y+lnt=-(x-t). 令y=0,得A点的横坐标为xA=t(1-lnt), 令x=0,得B点的纵坐标为yB=1-lnt, 当t∈(0,e)时,xA>0,yB>0, 此时△AOB的面积 S=t(1-lnt)2,S′=(lnt-1)(lnt+1), 解S">0,得 0<t<;解S"<0,得 <t<e. 所以 (0,)是函数 S=t(1-lnt)2的增区间; (,e)是函数的减区间. 所以,当 t=时,△AOB的面积最大,最大值为 ×(1-ln)2=. 故答案为:. |
举一反三
函数y=x2-x在它的图象上点M处的切线平行于x轴,则点M的坐标为( )A.(2,-1) | B.(0,0) | C.(1,-) | D.(4,0) |
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(文)如果质点A的位移S与时间t满足方程S=2t3(位移单位:米,时间单位:秒),则质点在t=3时的瞬时速度为 ______米/秒. |
(文)某种新型快艇在某海域匀速行驶中每小时的耗油量y(升)关于行驶速度x(千米/小时)的函数解析式可以表示为:y=x3-x+3(0<x≤120).该海域甲、乙两地相距120千米. (I)当快艇以40千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地要耗油多少升? (II)当快艇以多大的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最少?最少约为多少升?(精确到0.1升). |
(文)已知函数f(x)=x3+ax2+bx+2与直线4x-y+5=0切于点P(-1,1). (Ⅰ)求实数a,b的值; (Ⅱ)若x>0时,不等式f(x)≥mx2-2x+2恒成立,求实数m的取值范围. |
一物体作直线运动,其运动方程为S=t4-t3+2t2(S的单位为m,t的单位为s),则物体速度为0的时刻是______. |
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