已知曲线y=x2-1与y=1+x3在x=x0处的切线互相垂直，求x0的值．

题型：同步题难度：来源：

已知曲线y=

x²-1与y=1+x³在x=x₀处的切线互相垂直，求x₀的值．

答案

解：对于y=

x²-1，有y′=x，k₁=y′|x=x₀=

x₀；
对于y=1+x³，有y′=3x²，k₂=y′|x=x₀=3x₀²，
又k₁k₂=-1，
则x₀³=-1，
∴x₀=-1。

举一反三

设有抛物线C：y=-x²+

x-4，过原点O作C的切线y=kx，使切点P在第一象限，
(1)求k的值；
(2)过点P作切线的垂线，求它与抛物线的另一个交点Q的坐标．

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已知函数f(x)=x³+ax²+bx+c的图象如下图，直线y=0在原点处与函数图象相切，且此切线与函数图象所围成的区域(阴影)面积为

，求f(x)．

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已知函数f（x）=

x³+ax²-bx（a，b∈R），若y=f（x）图象上的点（1，-

）处的切线斜率为-4，求y=f（x）的极大值。

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设函数f(x)=ax+2，g(x)=a²x²-lnx+2，其中a∈R，x＞0，
(1)若a=2，求曲线y=g(x)在点(1，g(1))处的切线方程；
(2)是否存在负数a，使f(x)≤g(x)对一切正数x都成立？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．

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设函数f（x）=x³+2ax²+bx+a，g（x）=x²-3x+2，其中x∈R，a、b为常数，已知曲线y=f（x）与y=g（x）在点（2，0）处有相同的切线l。
（1）求a、b的值，并写出切线l的方程；
（2）若方程f（x）+g（x）=mx有三个互不相同的实根0、 x₁、x₂，其中x₁＜x₂，且对任意的x∈[x₁，x₂]，f（x）+ g（x）＜m（x-1）恒成立，求实数m的取值范围。

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