已知函数f(x)=ex+2x2—3x(1)求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;(2) 当x ≥1时,若关于x的不等式f(x)≥ax恒成立,求实数
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已知函数f(x)=ex+2x2—3x(1)求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;(2) 当x ≥1时,若关于x的不等式f(x)≥ax恒成立,求实数
题型:不详
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来源:
已知函数f(x)=e
x
+2x
2
—3x
(1)求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;
(2) 当x ≥1时,若关于x的不等式f(x)≥ax恒成立,求实数a的取值范围;
(3)求证函数f(x)在区间[0,1)上存在唯一的极值点,并用二分法求函数取得极值时相应x的近似值(误差不超过0.2);(参考数据e≈2.7,
≈1.6,e
0.3
≈1.3)。
答案
(1)(e+1)x-y-2=0
(2)a≤e-1
(3)x≈0.45
解析
(1)f"(x)=e
x
+4x-3,则
=e+1,
又f(1)=e—1,
∴曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为
y-e+1=(e+1)(x-1),即:(e+1)x-y-2=0
(2)由f(x)≥ax,得ax≤e
x
+2 x
2
-3x,
∵x≥1 ,∴a≤
令g(x)=
,则g’(x)=
∵x≥1 ,∴g’(x)>0,∴g(x)在[1,+∞)上是增函数,
∴g(x)min=g(1)=e-1,
∴a的取值范围是a≤e-1,
(3)∵f"(0)=e
0
-3=-2<0,f"(1)=e+1>0, ∴f"(0)·f"(1)<0
令h(x)=f"(x)=e
x
+4x-3,
则h"(x)=e
x
+4>0,f"(x)在正[0,1]上单调递增,
∴.f"(x)在[0,1]上存在唯一零点,f(x)在[0,1]上存在唯一的极值点.
取区间[0,1]作为起始区间,用二分法逐次计算可知区间[0.3,0.6]的长度为0.3,所以该区间的中点x2=0.45,到区间端点的距离小于0.2,因此可作为误差不超过0.2一个极值点的相应x的值
∴函数y=f(x)取得极值时,相应x≈0.45.
举一反三
设
.
(1)若曲线
在点
处的切线方程为
,求
的值;
(2)当
时,求
的单调区间与极值.
题型:不详
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已知
为定义在(0,+∞)上的可导函数,且
恒成立,则不等式
的解集为______
_
____.
题型:不详
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已知函数
函数
在
处取得极值1.
(1)求实数b,c的值;
(2)求
在区间[-2,2]上的最大值.
题型:不详
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设
,曲线
在点
处的切线与直线
垂直.
(1)求
的值;
(2)若对于任意的
,
恒成立,求
的范围;
(3)求证:
题型:不详
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已知f(x)=2x
3
-6x
2
+m(m为常数)在[-2,2]上有最大值3,那么此函数在[-2,2]上的最小值是( )
A.-37
B.-29
C.-5
D.以上都不对
题型:不详
难度:
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