设函数f(x)=xekx(k≠0),(Ⅰ)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;(Ⅱ)求函数f(x)的单调区间;(Ⅲ)若函数f(x)在区间(-1,
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设函数f(x)=xekx(k≠0), (Ⅰ)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程; (Ⅱ)求函数f(x)的单调区间; (Ⅲ)若函数f(x)在区间(-1,1)内单调递增,求k的取值范围. |
答案
解:(Ⅰ),f′(0)=1,f(0)=0, 曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=x。 (Ⅱ)由,得, 若k>0,则当时,f′(x)<0,函数f(x)单调递减; 当时,f′(x)>0,函数f(x)单调递增; 若k<0,则当时,f′(x)>0,函数f(x)单调递增; 当时,f′(x)<0,函数f(x)单调递减; (Ⅲ)由(Ⅱ)知,若k>0,则当且仅当,即k≤1时,函数f(x)在(-1,1)内单调递增; 若k<0,则当且仅当,即k≥-1时,函数f(x)在(-1,1)内单调递增; 综上可知,函数f(x)在区间(-1,1)内单调递增时,k的取值范围是[-1,0)∪(0,1]。 |
举一反三
已知函数f(x)=a·lnx+b·x2在点(1,f(1))处的切线方程为x-y-1=0, (1)求f(x)的表达式; (2)若f(x)满足f(x)≥g(x)恒成立,则称f(x)是g(x)的一个“上界函数”,如果函数f(x)为g(x)=-lnx(t为实数)的一个“上界函数”,求t的取值范围; (3)当m>0时,讨论在区间(0,2)上极值点的个数。 |
已知函数f(x)=x-1-alnx(a∈R)。 (1)若曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为3x-y-3=0求实数a的值; (2)求证:f(x)≥0恒成立的充要条件是a=1; (3)若a<0且对任意x1, x2,都有|f(x1)-f(x2)|≤4||,求实数a的取值范围。 |
已知函数f(x)=x3-3x2+a,若f(x+1)为奇函数,则曲线y=f(x)在点(0,a)处的切线方程是 |
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A.x=0 B.x=2 C.y=2 D.y=4 |
曲线y=ex在点(2,e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为 |
[ ] |
A.e2 B.2e2 C.e2 D. |
如图,函数y=f(x)的图象在点P处的切线方程是y=-x+8,则f(5)+f′(5)=( )。 |
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