在等式cos2x=2cos2x-1的两边对x求导（cos2x）′=（2cos2x-1）′。由求导法则得（-sin2x）·2=4cosx·（-sinx），化简后得

题型：江苏高考真题难度：来源：

在等式cos2x=2cos²x-1的两边对x求导（cos2x）′=（2cos²x-1）′。由求导法则得（-sin2x）·2=4cosx·（-sinx），化简后得等式sin2x=2sinxcosx。
（1）利用上述想法（或者其他方法），试由等式（x∈R，整数n≥2）证明：。
（2）对于整数，n≥3，求证：
（i）；
（ii）；
（iii）。

答案

解：（1）在等式

两边对x求导得

移项得
   （*）；
（2）（i）在（*）式中，令x=-1
整理得
；
（ii）由（1）知
两边对x求导，得

在上式中令x =-1，得

即
亦即
又由（i）知
由①+②得；
（iii）将等式
两边在[0，1]上对x积分

由微积分基本定理，得

所以。