在等式cos2x=2cos2x-1的两边对x求导(cos2x)′=(2cos2x-1)′。由求导法则得(-sin2x)·2=4cosx·(-sinx),化简后得

在等式cos2x=2cos2x-1的两边对x求导(cos2x)′=(2cos2x-1)′。由求导法则得(-sin2x)·2=4cosx·(-sinx),化简后得

题型:江苏高考真题难度:来源:

在等式cos2x=2cos2x-1的两边对x求导(cos2x)′=(2cos2x-1)′。由求导法则得(-sin2x)·2=4cosx·(-sinx),化简后得等式sin2x=2sinxcosx。
(1)利用上述想法(或者其他方法),试由等式(x∈R,整数n≥2)证明:
(2)对于整数,n≥3,求证:
(i)
(ii)
(iii)

答案

解:(1)在等式

两边对x求导得

移项得
   (*);
(2)(i)在(*)式中,令x=-1
整理得

(ii)由(1)知
两边对x求导,得

在上式中令x =-1,得


亦即
又由(i)知
由①+②得
(iii)将等式
两边在[0,1]上对x积分

由微积分基本定理,得

所以

举一反三
在平面直角坐标系xOy中,有一个以F1(0,-)和F2(0,)为焦点、离心率为的椭圆,设椭圆在第一象限的部分为曲线C,动点P在C上,C在点P处的切线与x、y轴的交点分别为A、B,且向量
(1)点M的轨迹方程;
(2)的最小值。
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已知直线y=x+1与曲线y=ln(x+a)相切,则a的值为 [     ]
A.1
B.2
C.-1
D.-2
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曲线在点(1,1)处的切线方程为[     ]
A.x-y-2=0
B.x+y-2=0
C.x+4y-5=0
D.x-4y-5=0
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设f(x)是偶函数,若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率为1,则该曲线在点(-1,f(-1))处的切线的斜率为(    )。
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设函数f(x)=xekx(k≠0),
(Ⅰ)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;
(Ⅱ)求函数f(x)的单调区间;
(Ⅲ)若函数f(x)在区间(-1,1)内单调递增,求k的取值范围.
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