(2011•浙江)设函数f(x)=(x﹣a)2lnx,a∈R(1)若x=e为y=f(x)的极值点,求实数a;(2)求实数a的取值范围,使得对任意的x∈(0,3e
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(2011•浙江)设函数f(x)=(x﹣a)2lnx,a∈R(1)若x=e为y=f(x)的极值点,求实数a;(2)求实数a的取值范围,使得对任意的x∈(0,3e
题型:不详
难度:
来源:
(2011•浙江)设函数f(x)=(x﹣a)
2
lnx,a∈R
(1)若x=e为y=f(x)的极值点,求实数a;
(2)求实数a的取值范围,使得对任意的x∈(0,3e],恒有f(x)≤4e
2
成立.
注:e为自然对数的底数.
答案
(1)a=e,或a=3e (2)
解析
(1)求导得f′(x)=2(x﹣a)lnx+
=(x﹣a)(2lnx+1﹣
),
因为x=e是f(x)的极值点,
所以f′(e)=0
解得a=e或a=3e.
经检验,a=e或a=3e符合题意,
所以a=e,或a=3e
(2)①当0<x≤1时,对于任意的实数a,恒有f(x)≤0<4e
2
成立
②当1<x≤3e时,,由题意,首先有f(3e)=(3e﹣a)
2
ln3e≤4e
2
,
解得
由(1)知f′(x)=2(x﹣a)lnx+
=(x﹣a)(2lnx+1﹣
),
令h(x)=2lnx+1﹣
,则h(1)=1﹣a<0,
h(a)=2lna>0且h(3e)=2ln3e+1﹣
≥2ln3e+1﹣
=2(ln3e﹣
)>0
又h(x)在(0,+∞)内单调递增,所以函数h(x)在在(0,+∞)内有唯一零点,记此零点为x
0
则1<x
0
<3e,1<x
0
<a,从而,当x∈(0,x
0
)时,f′(x)>0,
当x∈(x
0
,a)时,f′(x)<0,
当x∈(a,+∞)时,f′(x)>0,即f(x)在(0,x
0
)内是增函数,
在(x
0
,a)内是减函数,在(a,+∞)内是增函数
所以要使得对任意的x∈(0,3e],恒有f(x)≤4e
2
成立只要有
有h(x
0
)=2lnx
0
+1﹣
=0得a=2x
0
lnx
0
+x
0
,将它代入
得4x
0
2
ln
3
x
0
≤4e
2
又x
0
>1,注意到函数4x
2
ln
3
x在(1,+∞)上是增函数故1<x
0
≤e
再由a=2x
0
lnx
0
+x
0
,及函数2xlnx+x在(1,+∞)上是增函数,可得1<a≤3e
由f(3e)=(3e﹣a)
2
ln3e≤4e
2
解得
,
所以得
综上,a的取值范围为
举一反三
(2012•广东)曲线y=x
3
﹣x+3在点(1,3)处的切线方程为
_________
.
题型:不详
难度:
|
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已知函数
(1)求函数
的最大值;
(2)若
,求
的取值范围.
(3)证明:
+
(n
)
题型:不详
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|
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已知函数
(1)求函数
的最大值;
(2)若
的取值范围.
题型:不详
难度:
|
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设函数
.
(1)当
时,求函数
在
上的最大值和最小值;
(2)若
在
上为增函数,求正数
的取值范围.
题型:不详
难度:
|
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已知函数
,
.
(1)求
的单调区间;
(2)当
时,若对于任意的
,都有
成立,求
的取值范围.
题型:不详
难度:
|
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