试题分析:(1)首先求导:,再根据导数的符号确定其单调性.时,函数单调递增;时,函数单调减;(2)首先分离参数.由,得.令(),下面就利用导数研究函数性质,然后结合图象便可得知的零点的个数;(3)注意是一个确定的函数,为了弄清何时成立,首先弄清与的大小关系,然后利用(1)题的结果即可知道, 取何值时在上恒成立. (1)由,则. 当时,对,有,所以函数在区间上单调递增; 当时,由,得;由,得, 此时函数的单调增区间为,单调减区间为. 综上所述,当时,函数的单调增区间为; 当时,函数的单调增区间为,单调减区间为. 4分 (2)函数的定义域为,由,得(), 5分 令(),则, 6分 由于,,可知当,;当时,, 故函数在上单调递减,在上单调递增,故. 7分 又由(1)知当时,对,有,即, (随着的增长,的增长速度越越快,会超过并远远大于的增长速度,而的增长速度则会越越慢.则当且无限接近于0时,趋向于正无穷大.) 当时,函数有两个不同的零点; 当时,函数有且仅有一个零点; 当时,函数没有零点. 9分 (3)由(2)知当时,,故对, 先分析法证明:,. 10分 要证,, 只需证, 即证, 构造函数,则, 故函数在单调递增,所以,则成立. 12分 当时,由(1),在单调递增,则在上恒成立; 当时,由(1),函数在单调递增,在单调递减, 故当时,,所以,则不满足题意. 所以满足题意的的取值范围是. 14分 |