已知函数f(x)=x3-ax-1.(1)若a=3时,求f(x)的单调区间;(2)若f(x)在实数集R上单调递增,求实数a的取值范围;(3)是否存在实数a,使f(
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已知函数f(x)=x3-ax-1. (1)若a=3时,求f(x)的单调区间; (2)若f(x)在实数集R上单调递增,求实数a的取值范围; (3)是否存在实数a,使f(x)在(-1,1)上单调递减?若存在,求出a的取值范围;若不存在,说明理由. |
答案
(1)f(x)的单调增区间为(-∞,-1)∪(1,+∞),单调减区间为(-1,1)(2)a≤0.(3)存在实数a使f(x)在(-1,1)上单调递减,且a≥3. |
解析
(1)当a=3时,f(x)=x3-3x-1,∴f′(x)=3x2-3, 令f′(x)>0即3x2-3>0,解得x>1或x<-1, ∴f(x)的单调增区间为(-∞,-1)∪(1,+∞), 同理可求f(x)的单调减区间为(-1,1). (2)f′(x)=3x2-a. ∵f(x)在实数集R上单调递增, ∴f′(x)≥0恒成立,即3x2-a≥0恒成立,∴a≤(3x2)min. ∵3x2的最小值为0,∴a≤0. (3)假设存在实数a使f(x)在(-1,1)上单调递减, ∴f′(x)≤0在(-1,1)上恒成立,即a≥3x2. 又3x2∈[0,3),∴a≥3. ∴存在实数a使f(x)在(-1,1)上单调递减,且a≥3. |
举一反三
已知函数f(x)=lnx- (m∈R)在区间[1,e]上取得最小值4,则m=________. |
设函数f(x)=x2-(a-2)x-alnx. (1)求函数f(x)的单调区间; (2)若函数f(x)有两个零点,求满足条件的最小正整数a的值; (3)若方程f(x)=c有两个不相等的实数根x1、x2,求证:f′>0. |
已知函数f(x)=ax+x2-xlna(a>0,a≠1). (1)当a>1时,求证:函数f(x)在(0,+∞)上单调递增; (2)若函数y=|f(x)-t|-1有三个零点,求t的值; (3)若存在x1、x2∈[-1,1],使得|f(x1)-f(x2)|≥e-1,试求a的取值范围. |
已知二次函数,关于x的不等式的解集为,其中m为非零常数.设. (1)求a的值; (2)如何取值时,函数存在极值点,并求出极值点; (3)若m=1,且x>0,求证: |
设,,其中是常数,且. (1)求函数的极值; (2)证明:对任意正数,存在正数,使不等式成立; (3)设,且,证明:对任意正数都有:. |
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