已知曲线y=x3+,(1)求曲线过点P(2,4)的切线方程.(2)求曲线的斜率为4的切线方程.

已知曲线y=x3+,(1)求曲线过点P(2,4)的切线方程.(2)求曲线的斜率为4的切线方程.

题型:不详难度:来源:
已知曲线y=x3+,
(1)求曲线过点P(2,4)的切线方程.
(2)求曲线的斜率为4的切线方程.
答案
(1) 4x-y-4=0或x-y+2=0   (2) 4x-y-4=0和12x-3y+20=0
解析
(1)设曲线y=x3+与过点P(2,4)的切线相切于点A(x0,+),则点A处切线的斜率k=,∴切线方程为y-(+)=(x-x0),即y=·x-+.
∵点P(2,4)在切线上,∴4=2-+,即-3+4=0,∴+-4+4=0,
∴(x0+1)(x0-2)2=0,
解得x0=-1或x0=2,
故所求切线的方程为4x-y-4=0或x-y+2=0.
(2)设切点为(x0,y0),
则切线的斜率为k==4,x0=±2,
所以切点为(2,4),(-2,-),
∴切线方程为y-4=4(x-2)和y+=4(x+2),
即4x-y-4=0和12x-3y+20=0.
举一反三
已知函数f(x)=x3+x-16.
(1)求曲线y=f(x)在点(2,-6)处的切线方程.
(2)如果曲线y=f(x)的某一切线与直线y=-x+3垂直,求切点坐标与切线的方程.
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已知函数f(x)=ax3+3x2-6ax-11,g(x)=3x2+6x+12和直线m:y=kx+9,且f′(-1)=0.
(1)求a的值.
(2)是否存在k的值,使直线m既是曲线y=f(x)的切线,又是曲线y=g(x)的切线?如果存在,求出k的值;如果不存在,说明理由.
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设a∈R,若函数y=ex+ax,x∈R有大于零的极值点,则(  )
A.a<-1B.a>-1
C.a>-D.a<-

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函数y=f′(x)是函数y=f(x)的导函数,且函数y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线为l:y=g(x)=f′(x0)·(x-x0)+f(x0),F(x)="f(x)-g(x)," 如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象如图所示,且a<x0<b,那么(  )
A.F"(x0)=0,x=x0是F(x)的极大值点
B.F"(x0)=0,x=x0是F(x)的极小值点
C.F"(x0)≠0,x=x0不是F(x)的极值点
D.F"(x0)≠0,x=x0是F(x)的极值点

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已知函数f(x)=ex+2x,若f′(x)≥a恒成立,则实数a的取值范围是________.
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