试题分析:(1)首先求导函数,然后对参数进行分类讨论的单调性;(2)根据函数的解析式可将问题转化为的最大值,再利用导数研究函数单调性来确定其最值;(3)假设存在,将问题转化为证明:及成立,然后可考虑综合法与分析法进行证明. 试题解析:(1)定义域为, ①当时,,在定义域上单增; ②当时,当时,,单增;当时,,单减. 增区间:,减区间:. 综上可知:当时,增区间,无减区间;当时,增区间:,减区间:. (2)对任意恒成立 ,令, ,在上单增, ,,故的取值范围为. (3)存在,如等.下面证明: 及成立. ①先证,注意, 这只要证(*)即可, 容易证明对恒成立(这里证略),取即可得上式成立. 让分别代入(*)式再相加即证:, 于是. ②再证, 法一: , 只须证,构造证明函数不等式:, 令,, 当时,在上单调递减, 又当时,恒有,即恒成立. ,取,则有, 让分别代入上式再相加即证: , 即证. 法二:, , 又故不等式成立. (注意:此题也可用数学归纳法!). |