试题分析:(Ⅰ)求的极值点,先求函数的定义域为,然后可对函数求导数得,令导数等零,求出的解,再利用导数大于0,导数小于0,判断函数的单调区间,从而确定极值点,但本题由于含有参数,需对讨论(Ⅱ)当时,若方程在上有两个实数解,求实数t的取值范围,由(Ⅰ)知,在上单调递增,在上单调递减,而,由此可得实数t的取值范围;(Ⅲ)根据要证明当时,,直接证明比较困难,可以利用分析法来证明本题,从结论入手,要证结论只要证明后面这个式子成立,两边取对数,构造函数,问题转化为只要证明函数在一个范围上成立,利用导数证明函数的性质. 试题解析:(Ⅰ)(1分) ①时,, ∴在(-1,+∞)上是增函数,函数既无极大值点,也无极小值点。(2分) ②当时,在上递增,在单调递减,函数的极大值点为-1,无极小值点(3分) ③当时,在上递减,在单调递增,函数的极小值点为-1,无极大值点(4分) (Ⅱ)由(Ⅰ)知,在上单调递增,在上单调递减, 又, ∴,∴当时,方程有两解 (8分) (Ⅲ)要证:只须证 只须证:, 设 则,(10分) 由(1)知在单调递减,(12分) ∴,即是减函数,而m>n, ∴,故原不等式成立。 (14分) |