设函数(),其中.(Ⅰ)当时,求曲线在点处的切线方程;(Ⅱ)当时,求函数的极大值和极小值.
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设函数(),其中.(Ⅰ)当时,求曲线在点处的切线方程;(Ⅱ)当时,求函数的极大值和极小值.
题型:不详
难度:
来源:
设函数
(
),其中
.
(Ⅰ)当
时,求曲线
在点
处的切线方程;
(Ⅱ)当
时,求函数
的极大值和极小值.
答案
(Ⅰ)当
时,曲线
在点
处的切线方程为
;(Ⅱ)函数
在
处取得极小值
,在
处取得极大值
.
解析
试题分析:(Ⅰ)把
代入
,得
,结合已知条件即可得切点的坐标为
.再对
求导,即可求得
,即可得所求切线的斜率,最后利用直线方程的点斜式,即可得所求切线的方程;(Ⅱ)首先对
求导,得
.令
,解得
或
.
,列出当
变化时,
,
随
的变化情况表格,即可求得当
时,函数
的极大值和极小值.
试题解析:(Ⅰ)当
时,
,得
, 1分
且
,
. 3分
所以,曲线
在点
处的切线方程是
, 5分
整理得
. 6分
(Ⅱ)解:
,
.
令
,解得
或
. 8分
若
,当
变化时,
的正负如下表:
因此,函数
在
处取得极小值
,且
;
函数
在
处取得极大值
,且
. 12分
举一反三
已知
,
,
,
.
(Ⅰ)请写出的
表达式(不需证明);
(Ⅱ)求
的极小值
;
(Ⅲ)设
,
的最大值为
,
的最小值为
,试求
的最小值.
题型:不详
难度:
|
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已知函数
的图象在
上连续,定义:
,
.其中,
表示函数
在
上的最小值,
表示函数
在
上的最大值.若存在最小正整数
,使得
对任意的
成立,则称函数
为
上的“
阶收缩函数”.
(Ⅰ)若
,试写出
,
的表达式;
(Ⅱ)已知函数
,试判断
是否为
上的“
阶收缩函数”.如果是,求出对应的
;如果不是,请说明理由;
(Ⅲ)已知
,函数
是
上的2阶收缩函数,求
的取值范围.
题型:不详
难度:
|
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已知函数
(1)当
时,求
的单调区间;
(2)若
,设
是函数
的两个极值点,且
,记
分别为
的极大值和极小值,令
,求实数
的取值范围.
题型:不详
难度:
|
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已知函数
.
(1)当
时,如果函数
仅有一个零点,求实数
的取值范围;
(2)当
时,试比较
与1的大小;
(3)求证:
题型:不详
难度:
|
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已知函数
.
(Ⅰ)若函数在区间
其中
上存在极值,求实数
的取值范围;
(Ⅱ)如果当
时,不等式
恒成立,求实数
的取值范围.
题型:不详
难度:
|
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