已知函数(I)当a=1时,求函数f(x)的最小值;(II)当a≤0时,讨论函数f(x)的单调性;(III)是否存在实数a,对任意的x1,x2(0,+∞),且x1
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已知函数(I)当a=1时,求函数f(x)的最小值;(II)当a≤0时,讨论函数f(x)的单调性;(III)是否存在实数a,对任意的x1,x2(0,+∞),且x1
题型:不详
难度:
来源:
已知函数
(I)当a=1时,求函数f(x)的最小值;
(II)当a≤0时,讨论函数f(x)的单调性;
(III)是否存在实数a,对任意的x
1
,x
2
(0,+∞),且x
1
≠x
2
,都有
恒成立.若存在,求出a的取值范围;若不存在,说明理由.
答案
(I)-2ln2
(II)当
时,
和
为单调增区间,
为单调减区间;当a=-2时,
为单调增区间;当a<-2时,
和
为单调增区间,
为单调减区间.
(III)存在
.
解析
试题分析:(I) 首先确定函数的定义域,然后求导,根据函数导函数的性质,确定函数的单调区间,判断极小值就是最小值,求出即可. (II) 求导、同分整理得
.再分当
或当a=-2或a<-2时,判断
的符号,确定函数单调区间即可. (III) 假设存在实数a使得对任意的
,且
,都有
恒成立. 不妨设
,使得
,即
,构造函数令
,利用导函数求出满足函数g(x)在
为增函数的a取值范围即可.
试题解析:解:(I)定义域为
,当a=1时,
,所以当
时,
,
,所以f(x)在x=2时取得最小值,其最小值为
.
(II) 因为
,所以
(1)当
时,若
,
,f(x)为增函数;
时,
,f(x)为减函数;
时,
,f(x)为增函数;
(2)当a=-2时,
,f(x)为增函数;
(3)当a<-2时,
时,
,f(x)为增函数;
时,
,f(x)为减函数;
,
,f(x)为增函数;
(III)假设存在实数a使得对任意的
,且
,都有
恒成立,不妨设
,使得
,即
,
令
,只要g(x)在
为增函数,考察函数
,要使
在
恒成立.只需
,即
,故存在实数
符合题意.
举一反三
已知函数
,点
为一定点,直线
分别与函数
的图象和
轴交于点
,
,记
的面积为
.
(1)当
时,求函数
的单调区间;
(2)当
时, 若
,使得
, 求实数
的取值范围.
题型:不详
难度:
|
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已知函数
,曲线
在点
处切线方程为
.
(1)求
的值;
(2)讨论
的单调性,并求
的极大值.
题型:不详
难度:
|
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已知函数
.
(Ⅰ)讨论函数
的单调性;
(Ⅱ)设
,证明:对任意
,总存在
,使得
.
题型:不详
难度:
|
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已知
(1)若存在
使得
≥0成立,求
的范围
(2)求证:当
>1时,在(1)的条件下,
成立
题型:不详
难度:
|
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定义:如果函数
在区间
上存在
,满足
则称函数
在区间
上的一个双中值函数,已知函数
是区间
上的双中值函数,则实数
的取值范围是 ( )
A.
B.
C.
D.
题型:不详
难度:
|
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