已知函数(为自然对数的底数),(为常数),是实数集上的奇函数.(1)求证:;(2)讨论关于的方程:的根的个数;(3)设,证明:(为自然对数的底数).
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已知函数(为自然对数的底数),(为常数),是实数集上的奇函数.(1)求证:;(2)讨论关于的方程:的根的个数;(3)设,证明:(为自然对数的底数).
题型:不详
难度:
来源:
已知函数
(
为自然对数的底数),
(
为常数),
是实数集
上的奇函数.
(1)求证:
;
(2)讨论关于
的方程:
的根的个数;
(3)设
,证明:
(
为自然对数的底数).
答案
(1)证明详见解析.(2)
;
;
.(3)证明详见解析.
解析
试题分析:(1)构造函数
则
,求出
>0时x的取值,即函数h(x)的单调增区间,
时x的取值,即函数h(x)的单调减区间,可得
即
即可.(2)由
是
上的奇函数可得
,构造函数
求
,根据导数的性质求出函数
的单调区间,函数
的最大值为
,然后再根据直线y=m与函数
的交点个数判断原方程根的个数情况.(3)由(1)知
,令
,
试题解析:(1)证:令
,令
时
时,
. ∴
∴
即
. 4分
(2)
为R上的奇函数,
令
8分
。
(3)由(1)知
,令
,则
,所以原式=
+
+···+
+1,然后用缩放法证明即可.
于是
,
∴
=
+
+···+
+1
+
+···+
+1=
.12分
举一反三
设a为实数,函数f(x)=x
3
+ax
2
+(a-3)x的导函数为
,且
是偶函数, 则曲线:y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为
.
题型:不详
难度:
|
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已知函数
(I)当a=1时,求函数f(x)的最小值;
(II)当a≤0时,讨论函数f(x)的单调性;
(III)是否存在实数a,对任意的x
1
,x
2
(0,+∞),且x
1
≠x
2
,都有
恒成立.若存在,求出a的取值范围;若不存在,说明理由.
题型:不详
难度:
|
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已知函数
,点
为一定点,直线
分别与函数
的图象和
轴交于点
,
,记
的面积为
.
(1)当
时,求函数
的单调区间;
(2)当
时, 若
,使得
, 求实数
的取值范围.
题型:不详
难度:
|
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已知函数
,曲线
在点
处切线方程为
.
(1)求
的值;
(2)讨论
的单调性,并求
的极大值.
题型:不详
难度:
|
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已知函数
.
(Ⅰ)讨论函数
的单调性;
(Ⅱ)设
,证明:对任意
,总存在
,使得
.
题型:不详
难度:
|
查看答案
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