试题分析:(1)求,要函数由极值,也就是有实数解,由于是关于的二次函数,则由便求得的取值范围;(2)求,需要对实数进行分类讨论,或,在这两种情况下分别求出函数的单调区间,注意分类讨论问题,应弄清对哪个字母分类讨论,分类应不重不漏;(3)是探索性问题,要说明存在是以O为直角顶点的直角三角形, 且斜边中点在y轴上,需要证明,该方程有解,要对进行分类讨论分别说明. 试题解析:(1),若存在极值点, 则有两个不相等实数根. 所以,解得 . (2), 当时,,函数的单调递增区间为; 当时,,函数的单调递减区间为,单调递增区间为. 当且时, 假设使得是以O为直角顶点的直角三角形,且斜边中点在y轴上. 则且. 不妨设.故,则. ,该方程有解, 当时,,代入方程得, 即,而此方程无实数解; 当时,则; 当时,,代入方程得,即, 设,则在上恒成立. ∴在上单调递增,从而,则值域为. ∴当时,方程有解,即方程有解. 综上所述,对任意给定的正实数,曲线上总存在两点,使得是以O为直角顶点的直角三角形,且斜边中点在y轴上. |