已知函数,(1)求在处切线方程;(2)求证:函数在区间上单调递减;(3)若不等式对任意的都成立,求实数的最大值.
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已知函数,(1)求在处切线方程;(2)求证:函数在区间上单调递减;(3)若不等式对任意的都成立,求实数的最大值.
题型:不详
难度:
来源:
已知函数
,
(1)求
在
处切线方程;
(2)求证:函数
在区间
上单调递减;
(3)若不等式
对任意的
都成立,求实数
的最大值.
答案
(1)
;(2)详见解析;(3)
解析
试题分析:(1)先求导函数,再求
,再用点斜式方程求切线方程;(2)要证明函数
在区间
上单调递减,只需证明
在
恒成立,先求导
,分母大于0,只需证明分子小于0恒成立,构造函数
,说明其最大值小于0即可,这样就把问题转化为求函数的最大值问题了,继续求导
,发现
,故
递减,所以
;
(3)恒成立问题可以考虑参变分离,两边取自然对数得
,从而参变分离为
,只需用导数求右边函数的最小值即可,为了便于求导可换元,设
,则
,进而用导数求其最小值.
试题解析:(1)由已知
切线方程
;
(2)
,令
=
,
,
在(0,1)上是减函数;
(3)
两边取对数
即
,令
设
,设
,
由(2)知函数
在区间
上单调递减,
在
上是减函数
,
在
上是减函数
即
.
举一反三
定义在R上的函数
满足f(1)=1,且对任意x∈R都有
,则不等式
的解集为 ( )
A.(1,2)
B.(0,1)
C.(1,+∞)
D.(-1,1)
题型:不详
难度:
|
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已知函数
在
上是增函数,
(1)求实数
的取值集合
;
(2)当
取值集合
中的最小值时,定义数列
;满足
且
,
,求数列
的通项公式;
(3)若
,数列
的前
项和为
,求证:
.
题型:不详
难度:
|
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已知函数
,
在
上的减函数.
(Ⅰ)求曲线
在点(1,f(1))处的切线方程;
(Ⅱ)若
在
上恒成立,求
的取值范围;
(Ⅲ)关于
的方程
(
)有两个根(无理数e=2.71828),求m的取值范围.
题型:不详
难度:
|
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已知函数
,则
的极大值为
.
题型:不详
难度:
|
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若函数
(
为实常数).
(1)当
时,求函数
在
处的切线方程;
(2)设
.
①求函数
的单调区间;
②若函数
的定义域为
,求函数
的最小值
.
题型:不详
难度:
|
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