试题分析:(1)f"(x)=lnx+1(x>0),令f"(x)=0,得. ∵当时,f"(x)<0;当时, f"(x)>0, ∴当时,. 4分 (2)F(x)=ax2+lnx+1(x>0),. ①当a≥0时,恒有F"(x)>0,F(x)在(0,+∞)上是增函数; ②当a<0时, 令F"(x)>0,得2ax2+1>0,解得; 令F"(x)<0,得2ax2+1<0,解得. 综上,当a≥0时,F(x)在(0,+∞)上是增函数; 当a<0时,F(x)在上单调递增,在上单调递减. 8分 (3). 要证,即证,等价于证,令, 则只要证,由t>1知lnt>0, 故等价于证lnt<t﹣1<tlnt(t>1)(*). ①设g(t)=t﹣1﹣lnt(t≥1),则, 故g(t)在[1,+∞)上是增函数, ∴当t>1时,g(t)=t﹣1﹣lnt>g(1)=0,即t﹣1>lnt(t>1). ②设h(t)=tlnt﹣(t﹣1)(t≥1),则h"(t)=lnt≥0(t≥1),故h(t)在[1,+∞)上是增函数, ∴当t>1时,h(t)=tlnt﹣(t﹣1)>h(1)=0,即t﹣1<tlnt(t>1). 由①②知(*)成立,得证. 12分 点评:导数本身是个解决问题的工具,是高考必考内容之一,高考往往结合函数甚至是实际问题考查导数的应用,求单调、最值、完成证明等,请注意归纳常规方法和常见注意点 |