已知f(x)=(x∈R)在区间[-1,1]上是增函数.(1)求实数a的值组成的集合A;(2)设关于x的方程f(x)=的两个非零实根为x1、x2.试问:是否存在实
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已知f(x)=(x∈R)在区间[-1,1]上是增函数.(1)求实数a的值组成的集合A;(2)设关于x的方程f(x)=的两个非零实根为x1、x2.试问:是否存在实
题型:不详
难度:
来源:
已知f(x)=
(x∈R)在区间[-1,1]上是增函数.
(1)求实数a的值组成的集合A;
(2)设关于x的方程f(x)=
的两个非零实根为x
1
、x
2
.试问:是否存在实数m,使得不等式m
2
+tm+1≥|x
1
-x
2
|对任意a∈A及t∈[-1,1]恒成立?若存在,求m的取值范围;若不存在,请说明理由.
答案
(1)A={a|-1≤a≤1}. (2){m|m≥2,或m≤-2}.)
解析
试题分析:(1)f'(x)=
=
,
∵f(x)在[-1,1]上是增函数,∴f'(x)≤0对x∈[-1,1]恒成立,
即x
2
-ax-2≤0对x∈[-1,1]恒成立. ①
设
(x)=x
2
-ax-2,
①
-1≤a≤1,
∵对x∈[-1,1],f(x)是连续函数,且只有当a=1时,f'(-1)=0以及当a=-1时,f'(1)=0
∴A={a|-1≤a≤1}. -6分
(2)由
=
,得x
2
-ax-2=0, ∵△=a
2
+8>0
∴x
1
,x
2
是方程x
2
-ax-2=0的两实根,
∴
从而|x
1
-x
2
|=
=
.
∵-1≤a≤1,∴|x
1
-x
2
|=
≤3. 10分
要使不等式m
2
+tm+1≥|x
1
-x
2
|对任意a∈A及t∈[-1,1]恒成立,
当且仅当m
2
+tm+1≥3对任意t∈[-1,1]恒成立,
即m
2
+tm-2≥0对任意t∈[-1,1]恒成立. ②
设g(t)=m
2
+tm-2=mt+(m
2
-2),
(方法一:)
②
m≥2或m≤-2.
所以,存在实数m,使不等式m
2
+tm+1≥|x
1
-x
2
|对任意a∈A及t∈[-1,1]恒成立,其取值范围是{m|m≥2,或m≤-2}. --14分
(注:方法二: 当m=0时,②显然不成立; 当m≠0时,
②
或
m≥2或m≤-2.
所以,存在实数m,使不等式m
2
+tm+1≥|x
1
-x
2
|对任意a∈A及t∈[-1,1]恒成立,
其取值范围是{m|m≥2,或m≤-2}.)
点评:难题,在某区间,导函数值非负,则函数为增函数;导函数值非正,则函数为减函数。通过研究函数的图象和性质,进一步研究方程有实根的情况,这是函数与方程思想的灵活应用。不等式恒成立问题,一般的要转化成求函数的最值问题。
举一反三
已知函数
上任一点
处的切线斜率
,则该函数的单调递减区间为
.
题型:不详
难度:
|
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已知函数
,若直线
对任意的
都不是曲线
的切线,则
的取值范围是
.
题型:不详
难度:
|
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已知实数
,函数
.
(Ⅰ)若函数
有极大值32,求实数
的值;
(Ⅱ)若对
,不等式
恒成立,求实数
的取值范围.
题型:不详
难度:
|
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设函数
在区间
上是增函数,在区间
,
上是减函数,又
(1)求
的解析式;
(2)若在区间
上恒有
成立,求
的取值范围
题型:不详
难度:
|
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已知函数
(1)当
时,求函数在
上的最大值和最小值;
(2)讨论函数的单调性;
(3)若函数
在
处取得极值,不等式
对
恒成立,求实数
的取值范围。
题型:不详
难度:
|
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