解:(Ⅰ)当时,. …1分 . 又, ∴曲线在点处的切线方程为.即.…3分 (Ⅱ)(1)下面先证明:. 设 ,则, 且仅当,所以,在上是增函数,故. 所以,,即. …………………………5分 (2)因为,所以. 因为当时,,当时,. 又,所以在上是减函数,在 上是增函数.所以, …9分 (3)下面讨论函数的零点情况. ①当,即时,函数在上无零点; ②)当,即时,,则 而,∴在上有一个零点; ③当,即时, , 由于,, , 所以,函数在上有两个零点. ……………………………………13分 综上所述,在上,我们有结论:当时,函数无零点;当时,函数有一个零点;当时,函数有两个零点. ………………………………14分 解法二:(Ⅱ)依题意,可知函数的定义域为, . ………5分 ∴当时,,当时,. 在上是减函数,在上是增函数. ……………………6分 设(,常数. ∴当时, 且仅当时,在上是增函数. ∴当时,,∴当时, 取,得由此得. …………9分 取得由此得. …10分 (1)当,即时,函数无零点; ………………………11分 (2)当,即时,,则 而, ∴函数有一个零点; …12分 (3)当即时.而, ∴函数有两个零点. …13分 综上所述,当时,函数无零点,当 时,函数有一个零点,当时,函数有两个零点. …14分 |