(本小题满分12分)已知函数,.(1)求在区间的最小值;(2)求证:若,则不等式≥对于任意的恒成立;(3)求证:若,则不等式≥对于任意的恒成立.
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(本小题满分12分)已知函数,.(1)求在区间的最小值;(2)求证:若,则不等式≥对于任意的恒成立;(3)求证:若,则不等式≥对于任意的恒成立.
题型:不详
难度:
来源:
(本小题满分12分)已知函数
,
.
(1)求
在区间
的最小值;(2)求证:若
,则不等式
≥
对于任意的
恒成立;(3)求证:若
,则不等式
≥
对于任意的
恒成立.
答案
(Ⅰ)
(Ⅱ) 见解析(Ⅲ)见解析
解析
(1)解:
①若
∵
,则
,∴
,即
.
∴
在区间
是增函数,
故
在区间
的最小值是
.....3分
②若
令
,得
.又当
时,
;
当
时,
,
∴
在区间
的最小值是
(2)证明:当
时,
,则
,
∴
,当
时,有
,
∴
在
内是增函数,
∴
,∴
在
内是增函数,
∴对于任意的
,
恒成立.....7分
(3)证明:
,
令
则当
时,
≥
, 9分
令
,则
,
当
时,
;当
时,
;当
时,
,
则
在
是减函数,在
是增函数,
∴
,∴
,
∴
,即不等式
≥
对于任意的
恒成立.....12分
举一反三
设
的最大值为M。
(1)当
时,求M的值。
(2)当
取遍所有实数时,求M的最小值
;
(以下结论可供参考:对于
,当
同号时取等号)
(3)对于第(2)小题中的
,设数列
满足
,求证:
。
题型:不详
难度:
|
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已知函数
的导函数
满足
常数
为方程
的实数根
(1)若函数
的定义域为I,对任意
存在
使等式
成立。 求证:方程
不存在异于
的实数根。
(2)求证:当
时,总有
成立。
题型:不详
难度:
|
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定义在定义域
D
内的函数
y
=
f
(
x
),若对任意的
x
1
、
x
2
∈
D
,都有|
f
(
x
1
)-
f
(
x
2
)|<1,则称函数
y
=
f
(
x
)为“Storm函数”.已知函数
f
(
x
)=
x
3
-
x
+
a
(
x
∈[-1,1],
a
∈R).
(1)若
,求过点
处的切线方程;
(2)函数
是否为“Storm函数”?如果是,请给出证明;如果不是,请说明理由.
题型:不详
难度:
|
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设函数
(1)求导数
; 并证明
有两个不同的极值点
;
(2)若不等式
成立,求
的取值范围.
题型:不详
难度:
|
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已知
,函数
,
(其中
为自然对数的底数).
(1)求函数
在区间
上的最小值;
(2)是否存在实数
,使曲线
在点
处的切线与
轴垂直? 若存在,求出
的值;若不存在,请说明理由.
题型:不详
难度:
|
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