设的定义域为,的导函数为,且对任意正数均有,(1)判断函数在上的单调性;(2)设,比较与的大小,并证明你的结论;(3)设,若,比较与的大小,并证明你的结论.

设的定义域为,的导函数为,且对任意正数均有,(1)判断函数在上的单调性;(2)设,比较与的大小,并证明你的结论;(3)设,若,比较与的大小,并证明你的结论.

题型:不详难度:来源:
的定义域为,的导函数为,且对任意正数均有
(1)判断函数上的单调性;
(2)设,比较的大小,并证明你的结论;
(3)设,若,比较的大小,并证明你的结论.
答案
(Ⅰ) 上是增函数.
(Ⅱ) .
(Ⅲ)
解析
(Ⅰ)由于得,,而,则
,因此上是增函数.
(Ⅱ)由于,则,而上是增函数,
,即,∴(1),
同理 (2)
(1)+(2)得:,而
因此 .
(Ⅲ)证法1: 由于,则,而上是增函数,则,即

同理

以上个不等式相加得:



证法2:数学归纳法
(1)当时,由(Ⅱ)知,不等式成立;
(2)当时,不等式成立,
成立,
则当时, +
再由(Ⅱ)的结论, +
+
因此不等式对任意的自然数均成立.
举一反三
已知是定义在上的奇函数,当时,(a为实数).
  (1)当时,求的解析式;
  (2)若,试判断在[0,1]上的单调性,并证明你的结论;
  (3)是否存在a,使得当时,有最大值
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已知在R上单调递增,记的三内角的对应边分别为,若时,不等式恒成立.
(Ⅰ)求实数的取值范围;
  (Ⅱ)求角的取值范围;
(Ⅲ)求实数的取值范围.
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对于函数
(1)若处取得极值,且的图像上每一点的切线的斜率均不超过试求实数的取值范围;
(2)若为实数集R上的单调函数,设点P的坐标为,试求出点P的轨迹所形成的图形的面积S。
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设函数,函数的图象与轴的交点也在函数的图象上,且在此点有公共切线.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)对任意的大小.
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已知
(I)若,求函数在区间的最大值与最小值;
(II)若函数在区间上都是增函数,求实数的取值范围.
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