:(I)解法1:∵,由得, ∵, ∴,---2分 ∵当时,,∴函数在(0,2)上是减函数; 当时,,∴函数在(2,+)上是增函数; ∴是函数的在区间(0,+)上的最小值点, ∴对,都有,---4分即在区间(0,+)上存在常数A=32,使得对都有成立,∴函数在(0,+)上有下界. ---5分 [解法2: 当且仅当即时“=”成立∴对,都有, 即在区间(0,+)上存在常数A=32,使得对都有成立, ∴函数在(0,+)上有下界. (II)类比函数有下界的定义,函数有上界可以这样定义: 定义在D上的函数,如果满足:对,常数B,都有≤B成立,则称函数在D上有上界,其中B称为函数的上界. -----7分 设则,由(1)知,对,都有, ∴,∵函数为奇函数,∴ ∴,∴ 即存在常数B=-32,对,都有, ∴函数在(-, 0)上有上界. ---------9分 (III)∵,由得,∵ ∴ ∵ , ∴,----------10分 ∵当时,,∴函数在(0,)上是减函数; 当时,,∴函数在(,+)上是增函数; ∴是函数的在区间(0,+)上的最小值点, ------11分 ①当时,函数在上是增函数; ∴ ∵、是常数,∴、都是常数 令, ∴对,常数A,B,都有 即函数在上既有上界又有下界--------12分 ②当 时函数在上是减函数 ∴对都有∴函数在上有界.-- -13分 ③当时,函数在上有最小值 = 令,令B=、中的最大者则对,常数A,B,都有 ∴函数在上有界.综上可知函数是上的有界函数---14分 |