（Ⅰ）求函数y=2xcosx的导数；（Ⅱ）已知A+B=5π4，且A，B≠kπ+π2(k∈Z)．求证：（1+tanA）（1+tanB）=2．

题型：不详难度：来源：

（Ⅰ）求函数y=2xcosx的导数；
（Ⅱ）已知A+B=

5π

4

，且A，B≠kπ+

π

2

(k∈Z)．
求证：（1+tanA）（1+tanB）=2．

答案

（I）由导数的运算法则，可得
y"=（2xcosx）"=（2x）"cosx+2x（cosx）"=2cosx-2xcosx．
即函数y=2xcosx的导数为y"=2cosx-2xcosx；
（II）∵A+B=

5π

4

，∴tan（A+B）=tan

5π

4

=1．
即

tanA+tanB

1-tanAtanB

=1，可得tanA+tanB=1-tanAtanB，
因此（1+tanA）（1+tanB）=1+tanA+tanB+tanAtanB
=1+（1-tanAtanB）+tanAtanB=2．
∴等式（1+tanA）（1+tanB）=2成立．