已知数列{an}的首项a1=5,前n项和为Sn,且Sn+1=2Sn+n+5(n∈N*).(Ⅰ)证明数列{an+1}是等比数列;(Ⅱ)令f(x)=a1x+a2x2
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已知数列{an}的首项a1=5,前n项和为Sn, 且Sn+1=2Sn+n+5(n∈N*). (Ⅰ)证明数列{an+1}是等比数列; (Ⅱ)令f(x)=a1x+a2x2+…+anxn,求函数f(x)在点x=1处的导数f"(1). |
答案
(Ⅰ)由已知Sn+1=2Sn+n+5,∴n≥2时,Sn=2Sn-1+n+4, 两式相减,得Sn+1-Sn=2(Sn-Sn-1)+1, 即an+1=2an+1,从而an+1+1=2(an+1). 当n=1时,S2=2S1+1+5,∴a1+a2=2a1+6又a1=5,∴a2=11, 从而a2+1=2(a1+1).故总有an+1+1=2(an+1),n∈N*. 又∵a1=5,,∴an+1≠0,从而=2. 即{an+1}是以a1+1=6为首项,2为公比的等比数列. (Ⅱ)由(Ⅰ)知an=3×2n-1. ∵f(x)=a1x+a2x2+…+anxn∴f"(x)=a1+2a2x+…+nanxn-1. 从而f"(1)=a1+2a2+…+nan=(3×2-1)+2(3×22-1)+…+n(3×2n-1) =3(2+2×22+…+n×2n)-(1+2+…+n) =3[n×2n+1-(2+…+2n)]- =3[n×2n+1-2n+1+2]- =3(n-1)•2n+1-+6. |
举一反三
已知函数f(x)=x2-ax-2a2,函数g(x)=x-1 (1)若a=0,解不等式2f(x)≤|g(x)|; (2)若a>0,函数f(x)导函数是f′(x),解关于x的不等式<0. |
已知函数f(x)=(x+1)lnx-x+1 (I)求曲线在(1,f(1))处的切线方程; (Ⅱ)若xf′(x)≤x2+ax+1,求a的取值范围; (Ⅲ)证明:(x-1)f(x)≥0. |
设f(x)=sinx+cosx,那么( )A.f′(x)=cosx-sinx | B.f′(x)=cosx+sinx | C.f′(x)=-cosx+sinx | D.f′(x)=-cosx-sinx |
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已知函数f(x)=(x+2)ex,则f′(0)=______. |
已知点P是曲线y=x3+2x+1上的一点,过点P与此曲线的相切的直线l平行于直线y=2x-3,则切线l的方程是( )A.y=-x+1 | B.y=2x+1 | C.y=2x | D.y=2x+1或y=2x |
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