已知函数f(x)=ex-12x2，其导函数为f′（x）．（1）求f′（x）的最小值；（2）证明：对任意的x1，x2∈[0，+∞）和实数λ1≥0，λ2≥0且λ1+

题型：不详难度：来源：

已知函数f(x)=ex-

1

2

x2，其导函数为f′（x）．
（1）求f′（x）的最小值；
（2）证明：对任意的x₁，x₂∈[0，+∞）和实数λ₁≥0，λ₂≥0且λ₁+λ₂=1，总有f（λ₁x₁+λ₂x₂）≤λ₁f（x₁）+λ₂f（x₂）；
（3）若x₁，x₂，x₃满足：x₁≥0，x₂≥0，x₃≥0且x₁+x₂+x₃=3，求f（x₁）+f（x₂）+f（x₃）的最小值．

答案

（1）f′（x）=e^x-x，f""（x）=e^x-1
当x∈（-∞，0）时，f""（x）=e^x-1＜0，即f′（x）在区间（-∞，0）上为减函数；
当x∈[0，+∞）时，f""（x）=e^x-1≥0，即f′（x）在区间[0，+∞）上为增函数；
于是f′（x）的最小值为f′（0）=1．
（2）证明：不妨设x₁≤x₂，构造函数K（x）=f（λ₁x+λ₂x₂）-λ₁f（x）-λ₂f（x₂）（x∈[0，x₂]），
则有K（x₂）=f（λ₁x₂+λ₂x₂）-λ₁f（x₂）-λ₂f（x₂）=0，
则K′(x)=λ1f′(λ1x+λ2x2)-λ1f′(x)=λ1(f′(λ1x+λ2x2)-f′(x))，
而λ₁x+λ₂x₂-x=（λ₁-1）x+λ₂x₂=λ₂（x₂-x）≥0，所以λ₁x+λ₂x₂≥x，
由（1）知f′（x）在区间[0，+∞）上为增函数，
所以f′(λ1x+λ2x2)-f′(x)≥0，即K′（x）≥0，
所以K（x）在[0，x₂]上单调递增，
所以K（x）≤K（x₂）=0，即f（λ₁x₁+λ₂x₂）≤λ₁f（x₁）+λ₂f（x₂）．
（3）先证对任意的x₁，x₂，x₃∈[0，+∞）和实数λ₁≥0，λ₂≥0，λ₃≥0，且λ₁+λ₂+λ₃=1，
总有f（λ₁x₁+λ₂x₂+λ₃x₃）≤λ₁f（x₁）+λ₂f（x₂）+λ₃f（x₃），f(λ1x1+λ2x2+λ3x3)=f((λ1+

λ

2

)(

λ1

λ1+λ2

x1+

λ2

λ1+λ2

x2)+λ3x3)≤(λ1+λ2)f(

λ1

λ1+λ2

x1+

λ2

λ1+λ2

x2)+λ3f(x3)≤(λ1+λ2)•(

λ1

λ1+λ2

f(x1)+

λ2

λ1+λ2

f(x2))+λ3f(x3)
=λ₁f（x₁）+λ₂f（x₂）+λ₃f（x₃），
令λ1=λ2=λ3=

1

3

，有f(

x1+x2+x3

3

)≤

1

3

(f(x1)+f(x2)+f(x3))，
当x₁≥0，x₂≥0，x₃≥0且x₁+x₂+x₃=3时，有f(x1)+f(x2)+f(x3)≥3f(

x1+x2+x3

3

)=3f(1)=3e-

3

2

．
所以f（x₁）+f（x₂）+f（x₃）的最小值为3e-

3

2

．