利用导数求和:(1)Sn=1+2x+3x2+…+nxn-1(x≠0,n∈N*);(2)Sn=Cn1+2Cn2+3Cn3+…+nCnn(n∈N*).
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利用导数求和: (1)Sn=1+2x+3x2+…+nxn-1(x≠0,n∈N*); (2)Sn=Cn1+2Cn2+3Cn3+…+nCnn(n∈N*). |
答案
(1)当x=1时,Sn=1+2+3+…+n=(n+1), 当x≠1时,∵x+x2+x3++xn=, 两边对x求导,得Sn=1+2x+3x2+…+nxn-1=()′=. (2)∵(1+x)n=1+Cn1x+Cn2x2+…+Cnnxn, 两边对x求导,得n(1+x)n-1=Cn1+2Cn2x+3Cn3x2+…+nCnnxn-1. 令x=1,得n•2n-1=Cn1+2Cn2+3Cn3+…+nCnn, 即Sn=Cn1+2Cn2+3Cn3++nCnn=n•2n-1. |
举一反三
若f(x)=在点x=0处连续,则f(0)=______. |
已知实系数二次函数f(x)=ax2+bx+c对任何-1≤x≤1,都有|f(x)|≤1. (1)若f(x)=2x2-1,g′(x)=f(x),且g(0)=0,数列{an}满足an=g(an-1),问数列{an}能否构成等差数列,若能,请求出满足条件的所有等差数列;若不能,请说明理由; (2)求|a|+|b|+|c|的最大值. |
设函数f(x)=(2x+5)6,则导函数f′(x)中的x3的系数是______. |
已知函数f(x)=x+(t>0)和点P(1,0),过点P作曲线y=f(x)的两条切线PM、PN,切点分别为M、N. (Ⅰ)设|MN|=g(t),试求函数g(t)的表达式; (Ⅱ)是否存在t,使得M、N与A(0,1)三点共线.若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由. (Ⅲ)在(Ⅰ)的条件下,若对任意的正整数n,在区间[2,n+]内总存在m+1个实数a1,a2,…,am,am+1,使得不等式g(a1)+g(a2)+…+g(am)<g(am+1)成立,求m的最大值. |
若f(x)在R上可导, (1)求f(-x)在x=a处的导数与f(x)在x=-a处的导数的关系; (2)证明:若f(x)为偶函数,则f′(x)为奇函数. |
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