已知函数f（x）=e-x（cosx+sinx），将满足f′（x）=0的所有正数x从小到大排成数列{xn}．求证：数列{f（xn）}为等比数列．

题型：不详难度：来源：

已知函数f（x）=e^-x（cosx+sinx），将满足f′（x）=0的所有正数x从小到大排成数列{x_n}．求证：数列{f（x_n）}为等比数列．

答案

证明：f′（x）=-e^-x（cosx+sinx）+e^-x（-sinx+cosx）=-2e^-xsinx，
由f′（x）=0，即-2e^-xsinx=0，
解得x=nπ，n∈Z．从而x_n=nπ（n=1，2，3，…），
f（x_n）=（-1）ⁿe^-πn．
所以

f(xn+1)

f(xn)

=-e^-π．
所以数列{f（x_n）}是公比q=-e^-π的等比数列．