已知数列{an}的首项a1=5，前n项和为Sn，且Sn+1=2Sn+n+5（n∈N*）（I）证明数列{an+1}是等比数列；（II）令f（x）=a1x+a2x2

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已知数列{a_n}的首项a₁=5，前n项和为S_n，且S_n+1=2S_n+n+5（n∈N^*）
（I）证明数列{a_n+1}是等比数列；
（II）令f（x）=a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ，求函数f（x）在点x=1处的导数f"（1）并比较2f"（1）与23n²-13n的大小．

答案

（I）由已知S_n+1=2S_n+n+5（n∈N^*），
可得n≥2，S_n=2S_n-1+n+4两式相减得S_n+1-S_n=2（S_n-S_n-1）+1即a_n+1=2a_n+1
从而a_n+1+1=2（a_n+1）
当n=1时S₂=2S₁+1+5所以a₂+a₁=2a₁+6又a₁=5所以a₂=11
从而a₂+1=2（a₁+1）
故总有a_n+1+1=2（a_n+1），n∈N^*又a₁=5，a₁+1≠0
从而

an+1+1

an+1

=2即数列{a_n+1}是等比数列；
（II）由（I）知a_n=3×2ⁿ-1
因为f（x）=a₁x+a₂x²++a_nxⁿ所以f′（x）=a₁+2a₂x++na_nx^n-1
从而f′（1）=a₁+2a₂++na_n=（3×2-1）+2（3×2²-1）++n（3×2ⁿ-1）
=3（2+2×2²++n×2ⁿ）-（1+2++n）=3（n-1）•2ⁿ⁺¹-

n(n+1)

2

+6．
由上2f′（1）-（23n²-13n）=12（n-1）•2ⁿ-12（2n²-n-1）
=12（n-1）•2ⁿ-12（n-1）（2n+1）
=12（n-1）[2ⁿ-（2n+1）]①
当n=1时，①式=0所以2f"（1）=23n²-13n；
当n=2时，①式=-12＜0所以2f"（1）＜23n²-13n
当n≥3时，n-1＞0又2ⁿ=（1+1）ⁿ=C_n⁰+C_n¹++C_n^n-1+C_nⁿ≥2n+2＞2n+1
所以（n-1）[2ⁿ-（2n+1）]＞0即①＞0从而2f′（1）＞23n²-13n．