设函数f(x)=alnx-12x2+bx．（1）当a=3，b=12时，求f（x）的最大值；（2）求不等式f′（x）＞f（1）的解集．

题型：不详难度：来源：

设函数f(x)=alnx-

1

2

x2+bx．
（1）当a=3，b=

1

2

时，求f（x）的最大值；
（2）求不等式f′（x）＞f（1）的解集．

答案

（1）当a=3，b=

1

2

时，f（x）=3lnx-

1

2

x²+

1

2

x（x＞0）
f′(x)=

3

x

-x+

1

2

=

-(x-2)(2x+3)

2x

∵x＞0
∴当0＜x＜2时，f"（x）＞0，即f（x）递增
当x＞2时，f"（x）＜0，即f（x）递减．
∴当x=2时，f（x）_max=-1+3ln2
（2）不等式f′(x)＞f(1)⇔

a

x

-x+b＞-

1

2

+b  ①
∵x＞0，∴不等式①化为2x²-x-2a＜0
∵△=1+16a
∴当△≤0，即a≤-

1

16

时，不等式解集为φ
当△＞0，即a＞-

1

16

时，解集为(

1- 1+16a

4

，

1+ 1+16a

4

)