已知函数f（x）=sinx+cosx，f′（x）是f（x）的导函数（1）求函数F（x）=f（x）•f′（x）+f2（x）的最小正周期；（2）若f（x）=2f′（

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已知函数f（x）=sinx+cosx，f′（x）是f（x）的导函数
（1）求函数F（x）=f（x）•f′（x）+f²（x）的最小正周期；
（2）若f（x）=2f′（x），求

1+sin2x

cos2x+sinx•cosx

的值．

答案

（1）∵f"（x）=cosx-sinx，
∴f"（x）=cosx-sinx=-

2

sin（x+

π

4

），
F（x）=cos²x-sin²x+1+2sinxcosx=1+sin2x+cos2x=1+

2

sin（2x+

π

4

），
所以F（x）的最小正周期为T=π
（2）由于f（x）=2f′（x），则sinx+cosx=2（cosx-sinx）
故3sinx=cosx
即tanx=

1

3

原式=

2sin2x+cos2x

cos2x+sinx•cosx

=

1+2tan2x

1-tanx

=

11

6