已知函数f(x)=ax2+bx（a≠0）的导函数f′(x)=-2x+7，数列{an}的前n项和为Sn，点P(n，Sn)(n∈N*)均在函数y=f(x)的图象上．

题型：模拟题难度：来源：

已知函数f(x)=ax²+bx（a≠0）的导函数f′(x)=-2x+7，数列{a_n}的前n项和为S_n，点P(n，S_n)(n∈N*)均在函数y=f(x)的图象上．
(1)求数列{a_n}的通项公式及S_n的最大值；
(2)令，其中n∈N*，求{nb_n}的前n项和．

答案

解：(1)因为f(x)=ax²+bx(a≠0)，所以f′(x)=2ax+b，
由f′(x)=-2x+7得a=-1，b=7，
所以f(x)=-x²+7x，
又因为点P_n(n，S_n)(n∈N*)均在函数y=f(x)的图象上，
所以有，
当n=1时，；
当n≥2时，，
所以，
令a_n=-2n+8≥0得n≤4，
所以当n=3或n=4时，S_n取得最大值12；
综上，a_n=-2n+8(n∈N*)，当n=3或n=4时，S_n取得最大值12．
(2)由题意得，，
所以，即数列{b_n}是首项为8，公比为的等比数列，
故{nb_n}的前n项和，①
，②
所以①-②得，
所以。