已知函数f(x)＝x2－alnx(a∈R)．(1)若函数f(x)的图象在x＝2处的切线方程为y＝x＋b，求a，b的值；(2)若函数f(x)在(1，＋∞)上为增函

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已知函数f(x)＝

x²－alnx(a∈R)．
(1)若函数f(x)的图象在x＝2处的切线方程为y＝x＋b，求a，b的值；
(2)若函数f(x)在(1，＋∞)上为增函数，求a的取值范围．

答案

（1）a＝2，b＝－2ln2
（2）(－∞，1]

解析

解：(1)因为f′(x)＝x－

(x>0)，
又f(x)在x＝2处的切线方程为y＝x＋b，斜率为1，
所以

解得a＝2，b＝－2ln2．
(2)若函数f(x)在(1，＋∞)上为增函数，
则f′(x)＝x－

≥0在(1，＋∞)上恒成立，
即a≤x²在(1，＋∞)上恒成立．
所以a≤1．检验当a＝1时满足题意．
故a的取值范围是(－∞，1]．

举一反三

函数f(x)＝x²－2lnx的单调递减区间是(　　)

A．(0,1]	B．[1，＋∞)
C．(－∞，－1]∪(0,1]	D．[－1,0)∪(0,1]

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若a>0，b>0，且函数f(x)＝4x³－ax²－2bx－2在x＝1处有极值，则ab的最大值为(　　)

A．2

B．3

C．6

D．9

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若函数f(x)＝2x²－lnx在其定义域内的一个子区间(k－1，k＋1)内不是单调函数，则实数k的取值范围是(　　)

A．[1，＋∞)

B．[1，

)

C．[1,2)

D．[

，2)

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设f(x)＝－

x³＋

x²＋2ax，若f(x)在(

，＋∞)上存在单调递增区间，则实数a的取值范围为(　　)

A．a>－

B．a<－

C．a>

D．不存在

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函数f(x)的定义域是R，f(0)＝2，对任意x∈R，f(x)＋f′(x)>1，则不等式e^x·f(x)>e^x＋1的解集为(　　)

A．{x|x>0}

B．{x|x<0}

C．{x|x<－1或x>1}

D．{x|x<－1或0<x<1}

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