已知函数f(x)=alnx+bx2图象上点P(1,f(1))处的切线方程为2x-y-3=0.(1)求函数y=f(x)的解析式;(2)函数g(x)=f(x)+m-
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已知函数f(x)=alnx+bx2图象上点P(1,f(1))处的切线方程为2x-y-3=0.(1)求函数y=f(x)的解析式;(2)函数g(x)=f(x)+m-
题型:不详
难度:
来源:
已知函数f(x)=alnx+bx
2
图象上点P(1,f(1))处的切线方程为2x-y-3=0.
(1)求函数y=f(x)的解析式;
(2)函数g(x)=f(x)+m-ln4,若方程g(x)=0在[
,2]上恰有两解,求实数m的取值范围.
答案
(1) f(x)=4lnx-x
2
;(2) 2<m≤4-2ln2.
解析
试题分析:(1)由切线方程知图像过
,求导后,由题可得
,分别代函数与导函数表达式,解
可得;(2)由(1)得g(x)=4lnx-x
2
+m-ln4,即方程m=x
2
-4lnx+ln4,在
上恰有两解,令
h(x)=x
2
-4lnx+ln4,由导函数得在
上递减,在(
,2)上递增,可得2< h(x)≤4-2ln2,即2<m≤4-2ln2.
解:(1)∵点P(1,f(1))在切线2x-y-3=0上,
∴2-f(1)-3=0,
∴f(1)=-1,故b=-1, 2分
又
,∴f ′(1)=a+2b=2,∴a=4,
∴f(x)=4lnx-x
2
. 4分
(2)g(x)=4lnx-x
2
+m-ln4
由g(x)=0得:m=x
2
-4lnx+ln4,此方程在
上恰有两解, 6分
记h(x)=x
2
-4lnx+ln4,则
, 8分
由h′(x)=0得:x=
∈
,
在
上,h′(x)<0,h(x)单调递减,
在(
,2)上,h′(x)>0,h(x)单调递增, 10分
又h(
)=
+4+2ln2,h(
)=2-4ln
+2ln2=2,
h(2)=4-4ln2+2ln2=4-2ln2,
∵h(
)≥h(2),∴2<m≤4-2ln2. 13分
举一反三
若函数y=f(x)在x=x
0
处取得极大值或极小值,则称x
0
为函数y=f(x)的极值点.已知A,b是实数,1和-1是函数f(x)=x
3
+Ax
2
+b x的两个极值点.
(1)求A和b的值;
(2)设函数g(x)的导函数g′(x)=f(x)+2,求g(x)的极值点.
题型:不详
难度:
|
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(2013•重庆)设f(x)=a(x﹣5)
2
+6lnx,其中a∈R,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与y轴相交于点(0,6).
(1)确定a的值;
(2)求函数f(x)的单调区间与极值.
题型:不详
难度:
|
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已知函数
,其中
.
(1)若
,求函数
的极值;
(2)当
时,试确定函数
的单调区间.
题型:不详
难度:
|
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已知函数
.
(1)当a=l时,求
的单调区间;
(2)若函数
在
上是减函数,求实数a的取值范围;
(3)令
,是否存在实数a,当
(e是自然对数的底数)时,函数g(x)最小值是3,若存在,求出a的值;若不存在,说明理由.
题型:不详
难度:
|
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设函数
,其中
为自然对数的底数.
(1)求函数
的单调区间;
(2)记曲线
在点
(其中
)处的切线为
,
与
轴、
轴所围成的三角形面积为
,求
的最大值.
题型:不详
难度:
|
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