(1)解:f′(x)=lnx+1,当x∈时,f′(x)<0,f(x)单调递减;当x∈时,f′(x)>0,f(x)单调递增. ①当0<t<t+2<时,t无解;②当0<t<<t+2,即0<t<时,f(x)min=f=-; ③当≤t<t+2,即t≥时,f(x)在[t,t+2]上单调递增,f(x)min=f(t)=tlnt, 所以f(x)min=. (2)解:由题意,要使2xlnx≥-x2+ax-3在x∈(0,+∞)恒成立,即要使a≤2lnx+x+恒成立. 设h(x)=2lnx+x+(x>0),则h′(x)=+1-. 当x∈(0,1)时,h′(x)<0,h(x)单调递减; 当x∈(1,+∞)时,h′(x)>0,h(x)单调递增. 所以x=1时,h(x)取得极小值,也就是最小值, 即[h(x)]min=h(1)=4,所以a≤4. (3)证明:问题等价于证明xlnx>-,x∈(0,+∞). 由(1)知,f(x)=xlnx在(0,+∞)上最小值是-, 当且仅当x=时取得.设m(x)=-,x∈(0,+∞),则m′(x)=, 易得[m(x)]max=m(1)=-, 当且仅当x=1时取得, 从而对一切x∈(0,+∞),都有lnx>-成立 |