已知函数(). (1)当时,求函数的单调区间;(2)当时,取得极值. ① 若,求函数在上的最小值;② 求证:对任意,都有.

题型：不详难度：来源：

已知函数().
(1)当时,求函数的单调区间;
(2)当时,取得极值.
① 若,求函数在上的最小值;
② 求证:对任意,都有.

答案

（1）单调增区间为和,单调减区间为 ；（2）①②详见解析.

解析

试题分析：(1)求导解得或, 解得；
(2)①当时,取得极值, 所以解得，对求导，判断在,递增,在递减，分类讨论，求出最小值；②通过求导，求出，将恒成立问题转化为最值问题，对任意,都有.
试题解析：(1)  
当时,                  
解得或, 解得  
所以单调增区间为和,单调减区间为  
(2)①当时,取得极值, 所以 
解得(经检验符合题意)  
  

	+	0	-	0	+
	↗		↘		↗

所以函数在,递增,在递减  
当时,在单调递减, 
  
当时      
在单调递减,在单调递增,  
当时,在单调递增,  
综上,在上的最小值
  
②令 得(舍)  
因为 所以  
所以,对任意,都有.