试题分析:(1)函数的定义域为,.设 , ①当时,,在上恒成立,则在上恒成立,此时在上单调递减. ②当时,(I)由得. 当时,恒成立, 在上单调递增. 当时,恒成立,在上单调递减. (II)由得或;.当时,开口向下,在上恒成立,则在上恒成立,此时在上单调递减. 当 ,开口向上,在上恒成立,则在上恒成立, 此时 在上单调递增. (III)由得 若,开口向上,,且,,都在上. 由,即,得或; 由,即,得. 所以函数的单调递增区间为和, 单调递减区间为. 当时,抛物线开口向下,在 恒成立,即在(0,+恒成立,所以在单调递减 综上所述: 其中 (2)因为存在一个使得, 则,等价于.令,等价于“当 时,”. 对求导,得. 因为,由,所以在上单调递增,在上单调递减. 由于,所以,因此. 点评:近几年新课标高考对于函数与导数这一综合问题的命制,一般以有理函数与半超越(指数、对数)函数的组合复合且含有参量的函数为背景载体,解题时要注意对数式对函数定义域的隐蔽,这类问题重点考查函数单调性、导数运算、不等式方程的求解等基本知识,注重数学思想(分类与整合、数与形的结合)方法(分析法、综合法、反证法)的运用.把数学运算的“力量”与数学思维的“技巧”完美结合 |