已知函数.(1)求函数的单调区间;(2)设函数.若至少存在一个,使得成立,求实数的取值范围.

已知函数.(1)求函数的单调区间;(2)设函数.若至少存在一个,使得成立,求实数的取值范围.

题型:不详难度:来源:
已知函数.(1)求函数的单调区间;
(2)设函数.若至少存在一个,使得成立,求实数的取值范围.
答案
(1)








递减
递增
递减
递增
递增
其中    
(2).
解析

试题分析:(1)函数的定义域为.设 ,                  
①当时,上恒成立,则上恒成立,此时上单调递减. 
②当时,(I)由.
时,恒成立,
上单调递增. 当时,恒成立,上单调递减.
(II)由;.当时,开口向下,上恒成立,则上恒成立,此时上单调递减.
 ,开口向上,上恒成立,则上恒成立,
此时 在上单调递增.
(III)由
,开口向上,,且都在上. 由,即,得
,即,得
所以函数的单调递增区间为
单调递减区间为.  
时,抛物线开口向下,
恒成立,即在(0,+恒成立,所以单调递减
综上所述:








递减
递增
递减
递增
递增
其中    
(2)因为存在一个使得
,等价于.令,等价于“当 时,”.
求导,得. 因为,由所以上单调递增,在上单调递减.   
由于,所以,因此.
点评:近几年新课标高考对于函数与导数这一综合问题的命制,一般以有理函数与半超越(指数、对数)函数的组合复合且含有参量的函数为背景载体,解题时要注意对数式对函数定义域的隐蔽,这类问题重点考查函数单调性、导数运算、不等式方程的求解等基本知识,注重数学思想(分类与整合、数与形的结合)方法(分析法、综合法、反证法)的运用.把数学运算的“力量”与数学思维的“技巧”完美结合
举一反三
对于三次函数,给出定义:设是函数的导数,的导数,若方程有实数解,则称点为函数的“拐点”.某同学经过探究发现:任何一个三次函数都有“拐点”;任何一个三次函数都有对称中心,且“拐点”应对对称中心.根据这一发现,则函数的对称中心为              
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已知函数在区间上的最大值与最小值分别为,则___________.
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已知函数在(1,4)上是减函数,则实数的取值范围是(  )
A.B.C.D.

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函数在区间内零点的个数为       
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函数的单调递增区间是            
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