试题分析:(1)函数的定义域为 , .设 , ①当 时, , 在 上恒成立,则 在 上恒成立,此时 在 上单调递减. ②当 时,(I)由 得 . 当 时,![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191018/20191018103504-44755.png) 恒成立,
在 上单调递增. 当 时,![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191018/20191018103504-44755.png) 恒成立, 在 上单调递减. (II)由 得 或 ;.当 时,开口向下, 在 上恒成立,则 在 上恒成立,此时 在 上单调递减. 当 ,开口向上, 在 上恒成立,则 在 上恒成立, 此时 在 上单调递增. (III)由 得![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191018/20191018103508-53812.png) 若 ,开口向上, ,且 , , 都在 上. 由 ,即 ,得 或 ; 由 ,即 ,得 . 所以函数 的单调递增区间为 和 , 单调递减区间为 . 当 时,抛物线开口向下, 在![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191018/20191018103512-58199.png) 恒成立,即 在(0,+ 恒成立,所以 在 单调递减 综上所述: 其中 (2)因为存在一个 使得 , 则 ,等价于 .令 ,等价于“当 时, ”. 对 求导,得 . 因为 ,由 , 所以 在 上单调递增,在 上单调递减. 由于 ,所以 ,因此 . 点评:近几年新课标高考对于函数与导数这一综合问题的命制,一般以有理函数与半超越(指数、对数)函数的组合复合且含有参量的函数为背景载体,解题时要注意对数式对函数定义域的隐蔽,这类问题重点考查函数单调性、导数运算、不等式方程的求解等基本知识,注重数学思想(分类与整合、数与形的结合)方法(分析法、综合法、反证法)的运用.把数学运算的“力量”与数学思维的“技巧”完美结合 |