试题分析:(Ⅰ)要使得不等式能成立,只需。 求导得:, ………3分 ∵函数的定义域为, 当时,,∴函数在区间上是减函数; 当时,,∴函数在区间(0,+∞)上是增函数。 ∴, ∴。故实数的最小值为。 ………6分 (Ⅱ)由得:
由题设可得:方程在区间上恰有两个相异实根………8分 设。∵,列表如下: ∵, ∴。 从而有, ………10分 画出函数在区间上的草图
易知要使方程在区间上恰有两个相异实根, 只需:,即:。 ………12分 点评:利用导数研究函数单调性、确定函数最值、研究函数图象,是导数的基本应用。本题将“恒成立”问题转化成求函数最值问题,将函数零点问题,转化成研究函数单调性、求最值问题,凸显转化与化归数学的重要性。 |