本试题是以半球为背景,表示圆柱体的高度的关系式,以及体积的运用,并结合导数来求解最值问题。 (1)利用球的半径和圆柱的高度得到关于r与半径的关系式,从而得到高度的表示。 (2)而圆柱体的体积就是底面积乘以高,那么三个柱体的体积可以借助于第一问中的高度表示出来,再集合导数的思想求解体积的最值。 解:(1)自下而上三个圆柱的底面半径分别为:
. ………………………………3分 它们的高均为 ,所以体积和
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191018/20191018113125-29044.png) ![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191018/20191018113125-92246.png) 6分 因为 ,所以 的取值范围是 ; ………………………………………7分 ⑵ 由![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191018/20191018113126-12900.png) 得![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191018/20191018113126-93680.png) ![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191018/20191018113127-96747.png) , ………………9分 又 ,所以 时, ; 时, .11分 所以 在 上为增函数,在 上为减函数, 所以 时, 取最大值, 的最大值为 . ………13分 答:三个圆柱体积和 的最大值为 . …………………………………………14分 |