本试题主要考查了导数在研究函数中的运用,求解函数图像的交点问题的综合问题。 解:(Ⅰ)函数f(x)=x2-(a+2)x+alnx的定义域为(0,+∞), f'(x)=2x-(a+2)+= = ① 当a≤0时,f'(x)≤0在(0,1]上恒成立,f'(x)≥0在[1,+∞)上恒成立, ∴a≤0时,f(x)的增区间为[1,+∞),f(x)的减区间为(0,1]。 ② 当0<a<2时,f'(x)≥0在(0, ]和[1,+∞)上恒成立,f'(x)≤0在[ ,1]上恒成立. ∴0<a<2时,f(x)的增区间为(0, ]和[1,+∞),f(x)的减区间为[,1]. ③ a=2时,f'(x)≥0在(0,+∞)上恒成立, ∴a=2时,f(x)的增区间为(0,+∞). ④ a>2时,f'(x)≥0在(0,1]和[,+∞)上恒成立,f'(x)≤0在[1, ]上恒成立, ∴a>2时,f(x)的增区间为(0,1]和[,+∞),f(x)的减区间为[1, ]. (Ⅱ)若a=4,由(Ⅰ)可得f(x)在(0,1]上单调递增,在[1,2]上单调递减,在[2,+∞)上单调递增. f(x)极小值=f(2)=4ln2-8, f(x)极大值=f(1)=-5, ∴y=f(x)的图像与直线y=m有三个交点时m的取值范围是(4ln2-8,-5)。 |