(Ⅰ)因为函数的定义域为(0,+∞), 函数的导数为f"(x)=1+a+lnx,由f"(x)=1+a+lnx=0, 解得x=e-1-a,即当x=e-1-a,时,函数取得极小值-e-2. 即f(e-1-a)=e-1-a(a-1-a)=-e-1-a=-e-2, 所以解的a=1,即实数a的值为1. (Ⅱ)当a=1时,f(x)=x(1+lnx),所以设g(x)==, 则g′(x)=. 令h(x)=x-2-lnx,x>1. 因为h′(x)=1-=>0,所以函数h(x)在(1,+∞)上单调递增, 又h(3)=1-ln3<0,h(4)=2-ln4=2-2ln2>0, 所以h(x)在(1,+∞)上存在唯一的一个实数根x0,满足x0∈(3,4),且h(x0)=0 ,即x0-2-lnx0=0,所以lnx0=x0-2. 当x∈(1,x0)时,h(x)<0,此时g"(x)<0, 当x∈(x0,+∞)时,h(x)>0,此时g"(x)>0. 所以g′(x)=在x∈(1,x0)时,单调递减,在x∈(x0,+∞)上单调递增, 所以.g(x)min=g(x0)====x0∈(3,4). 所以要使k<对任意x>1恒成立,则k<g(x)min=x0∈(3,4), 因为k∈Z,所以要k≤3,即k的最大值为3. |