已知函数f(x)=x3+ax2-(2a+3)x+a2(a∈R).(1)若函数f(x)在区间(1,+∞)上有极小值点,求实数a的取值范围;(2)若当x∈[-1,1

已知函数f(x)=x3+ax2-(2a+3)x+a2(a∈R).(1)若函数f(x)在区间(1,+∞)上有极小值点,求实数a的取值范围;(2)若当x∈[-1,1

题型:不详难度:来源:
已知函数f(x)=x3+ax2-(2a+3)x+a2(a∈R).
(1)若函数f(x)在区间(1,+∞)上有极小值点,求实数a的取值范围;
(2)若当x∈[-1,1]时,f(x)>0,求实数a的取值范围.
答案
(1)f"(x)=3x2+2ax-(2a+3)=(3x+2a+3)(x-1)
令f′(x)=0,得x=1,或x=-
2a+3
3

使函数f(x)在区间(1,+∞)上有极小值点,
-
2a+3
3
>1
,解得:a<-3.  (6分)
(2)由题意知,即使x∈[-1,1]时,(f(x))min>0.
①当-
2a+3
3
≥1
,即a≤-3时,f(x)在x∈[-1,1]上单调递增,
∴(f(x))min=f(-1)=a2+3a+2>0,得a>-1或a<-2,
由此得:a≤-3;
②当-1<-
2a+3
3
<1
,即-3<a<0,f(x)在[-1,-
2a+3
3
]
为增函数,在[-
2a+3
3
,1]
上为减函数,
所以(f(x))min=min{f(-1),f(1)},





f(-1)=a2+3a+2>0
f(1)=a2-a-2>0
⇒a>2
或a<-2
由此得-3<a<-2;
③当-
2a+3
3
≤-1
,即a≥0,f(x)在x∈[-1,1]上为减函数,所以(f(x))min=f(1)=a2-a-2>0
得a>2或a<-1,由此得a>2;
由①②③得实数a的取值范围为a>2或a<-2.(15分)
举一反三
已知函数f(x)=
1
2
ax2+2x,g(x)=lnx.
(1)求函数y=xg(x)-2x的单调增区间.
(2)如果函数y=f(x)在[1,+∞)上是单调增函数,求a的取值范围;
(3)是否存在实数a>0,使得方程
g(x)
x
=f′(x)-(2a+1)在区间(
1
e
,e)内有且只有两个不相等的实数根?若存在,请求出a的取值范围;若不存在,请说明理由.
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已知函数f(x)=x2+2(1-a)x+2(1-a)ln(x-1)x∈(1,+∞).
(1)x=
3
2
是函数的一个极值点,求a的值;
(2)求函数f(x)的单调区间;
(3)当a=2时,函数g(x)=-x2-b,(b>0),若对任意m1,m2∈[
1
e
+1,e+1],
.
g(m2)-f(m1) 
  
.
<2g2+2g
都成立,求b的取值范围.
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已知函数f(x)=lnx-m(x-
1
x
)(m为实常数)
(1)当m=
2
5
时,求函数f(x)在区间[1,e]上的最大值;
(2)若函数f(x)无极值点,求m的取值范围.
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已知函数f(x)=x3+ax2+bx 在x=1处有极值为10,则f(2)等于______.
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定义在D上的函数f(x),如果满足;对任意x∈D,存在常数M>0,都有|f(x)|≤M成立,则称f(x)是D上的有界函数,其中M称为函数f(x)的上界.已知函数f(x)=1+a•2x+4x,g(x)=
1-2x
1+2x

(1)当a=1时,求函数f(x)在(0,+∞)上的值域,并判断函数f(x)在(0,+∞)上是否为有界函数,请说明理由;
(2)求函数g(x)在[0,1]上的上界T的取值范围;
(3)若函数f(x)在(-∞,0]上是以3为上界的函数,求实数a的取值范围.
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