已知函数f（x）=x3+ax2-（2a+3）x+a2（a∈R）．（1）若函数f（x）在区间（1，+∞）上有极小值点，求实数a的取值范围；（2）若当x∈[-1，1
题型：不详难度：来源：
已知函数f（x）=x3+ax2-（2a+3）x+a2（a∈R）．
（1）若函数f（x）在区间（1，+∞）上有极小值点，求实数a的取值范围；
（2）若当x∈[-1，1]时，f（x）＞0，求实数a的取值范围． |
答案
（1）f"（x）=3x2+2ax-（2a+3）=（3x+2a+3）（x-1）
令f′（x）=0，得x=1，或x=-，
使函数f（x）在区间（1，+∞）上有极小值点，
则-＞1，解得：a＜-3． （6分）
（2）由题意知，即使x∈[-1，1]时，（f（x））min＞0．
①当-≥1，即a≤-3时，f（x）在x∈[-1，1]上单调递增，
∴（f（x））min=f（-1）=a2+3a+2＞0，得a＞-1或a＜-2，
由此得：a≤-3；
②当-1＜-＜1，即-3＜a＜0，f（x）在[-1，-]为增函数，在[-，1]上为减函数，
所以（f（x））min=min{f（-1），f（1）}，
得 | | f(-1)=a2+3a+2＞0 | | f(1)=a2-a-2＞0 |
| |
⇒a＞2或a＜-2
由此得-3＜a＜-2；
③当-≤-1，即a≥0，f（x）在x∈[-1，1]上为减函数，所以（f（x））min=f（1）=a2-a-2＞0
得a＞2或a＜-1，由此得a＞2；
由①②③得实数a的取值范围为a＞2或a＜-2．（15分） |
举一反三
已知函数f（x）=ax2+2x，g（x）=lnx．
（1）求函数y=xg（x）-2x的单调增区间．
（2）如果函数y=f（x）在[1，+∞）上是单调增函数，求a的取值范围；
（3）是否存在实数a＞0，使得方程=f′（x）-（2a+1）在区间（，e）内有且只有两个不相等的实数根？若存在，请求出a的取值范围；若不存在，请说明理由． |
已知函数f（x）=x2+2（1-a）x+2（1-a）ln（x-1）x∈（1，+∞）．
（1）x=是函数的一个极值点，求a的值；
（2）求函数f（x）的单调区间；
（3）当a=2时，函数g（x）=-x2-b，（b＞0），若对任意m1，m2∈[+1，e+1]，＜2g2+2g都成立，求b的取值范围． |
已知函数f（x）=lnx-m（x-）（m为实常数）
（1）当m=时，求函数f（x）在区间[1，e]上的最大值；
（2）若函数f（x）无极值点，求m的取值范围． |
| 已知函数f（x）=x3+ax2+bx 在x=1处有极值为10，则f（2）等于______． |
定义在D上的函数f（x），如果满足；对任意x∈D，存在常数M＞0，都有|f（x）|≤M成立，则称f（x）是D上的有界函数，其中M称为函数f（x）的上界．已知函数f（x）=1+a•2x+4x，g（x）=．
（1）当a=1时，求函数f（x）在（0，+∞）上的值域，并判断函数f（x）在（0，+∞）上是否为有界函数，请说明理由；
（2）求函数g（x）在[0，1]上的上界T的取值范围；
（3）若函数f（x）在（-∞，0]上是以3为上界的函数，求实数a的取值范围． |
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