如图所示,在圆锥PO中, PO=,ʘO的直径AB=2, C为弧AB的中点,D为AC的中点.(1)求证:平面POD^平面PAC;(2)求二面角B—PA—C的余弦值

如图所示,在圆锥PO中, PO=,ʘO的直径AB=2, C为弧AB的中点,D为AC的中点.(1)求证:平面POD^平面PAC;(2)求二面角B—PA—C的余弦值

题型:不详难度:来源:
如图所示,在圆锥PO中, PO=,ʘO的直径AB=2, C为弧AB的中点,D为AC的中点.

(1)求证:平面POD^平面PAC;
(2)求二面角B—PA—C的余弦值.
答案
(1)见解析;(2)
解析

试题分析:(1)通过证平面PAC内直线AC^平面POD,由平面与平面垂直的判定定理得平面PAC^平面POD;(2)用垂面法作出二面角的平面角,然后在直角三角形中利用边长求平面角的余弦值.
试题解析:证明:(1)如图所示,连接OC.
OA=OC,D是AC的中点,AC^OD,在圆锥PO中,PA=PC,
则AC^PD,又PDÇOD=D,AC^平面POD,而ACÌ平面PAC,
平面POD^平面PAC            5分

(2)在平面POD中,过O作OH^PD于H,由(1)知:
平面POD^平面PAC,OH^平面PAC,过H作HG^PA于G,连OG,则OG^PA(三垂线定理)
ÐOGH为二面角B—PA—C的平面角,
在RtDODA中,OD=OA×450=.
在RtDPOD中,OH= = =.
在RtDPOA中,OG= = =.
在RtDOHG中,sinÐOGH= = =.
所以,cosÐOGH= = = 
所以,二面角B—PA—C的余弦值为.          10分
举一反三
如图示,在底面为直角梯形的四棱椎P   ABCD中,AD//BC,ÐABC= 900, PA^平面ABCD,PA= 4,AD= 2,AB=2,BC = 6.

(1)求证:BD^平面PAC ;
(2)求二面角A—PC—D的正切值;
(3)求点D到平面PBC的距离.
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棱长为1的正方体ABCD A1B1C1D1中,点M,N分别在线段AB1,BC1上,且AM=BN,给出以下结论:
①AA1⊥MN
②异面直线AB1,BC1所成的角为60°
③四面体B1 D1CA的体积为
④A1C⊥AB1,A1C⊥BC1, 其中正确的结论的个数为(  )
A.1B.2C.3D.4

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如果正四棱锥的底面边长为2,侧面积为,则它的侧面与底面所成的(锐)二面角的大小为        .
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如图,四棱锥的底面是正方形,底面上一点

(1)求证:平面平面
(2)设,求点到平面的距离.
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四棱锥中,⊥底面,,,.

(Ⅰ)求证:⊥平面;
(Ⅱ)若侧棱上的点满足,求三棱锥的体积.
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