(1)f′(x)=,则x>1时,f′(x)>0;0<x<1时,f′(x)<0. 所以,函数f(x)在(0,1)上是减函数,在(1,+∞)上是增函数.(2分) 当m≥1时,函数f(x)在[m,m+1]上是增函数, 此时f(x)min=f(m)=; 当0<m<1时,函数f(x)在[m,1]上是减函数,在[1,m+1]上是增函数, 此时f(x)min=f(1)=e;(6分) (2)证明: 考察函数g(x)=xe-x,g′(x)=(1-x)e-x 所以g(x)在(-∞,1)内是增函数,在(1,+∞)内是减函数.(结论1) 考察函数F(x)=g(x)-g(2-x),即F(x)=xe-x+(x-2)ex-2 于是F"(x)=(x-1)(e2x-2-1)e-x 当x>1时,2x-2>0,从而e2x-2-1>0,又e-x>0,所以F′(x)>0,从而函数F(x)在[1,+∞)是增函数. 又F(1)=e-1-e-1=0,所以x>1时,有F(x)>F(1)=0,即g(x)>g(2-x).(结论2)(9分) 若(x1-1)(x2-1)=0,由结论1及g(x1)=g(x2),得x1=x2=1,与x1≠x2矛盾; 若(x1-1)(x2-1)>0,由结论1及g(x1)=g(x2),得x1=x2,与x1≠x2矛盾;(11分) 若(x1-1)(x2-1)<0,不妨设x1<1,x2>1 由结论2可知,g(x2)>g(2-x2),所以g(x1)=g(x2)>g(2-x2). 因为x2>1,所以2-x2<1,又由结论1可知函数g(x)在区间(-∞,1)内是增函数, 所以x1>2-x2,即x1+x2>2.(15分) |