已知函数f（x）=ax-lnx．（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线x-y+1=0平行，求a的值；（Ⅱ）求f（x）的单调区间．

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已知函数f（x）=ax-lnx．
（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线x-y+1=0平行，求a的值；
（Ⅱ）求f（x）的单调区间．

答案

（Ⅰ）因为f（x）=ax-lnx，
所以f′(x)=a-

1

x

．
因为曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线x-y+1=0平行，
所以切线的斜率k=1．
所以f"（1）=1，即a-1=1．
所以a=2．…..（4分）
（Ⅱ）因为函数f（x）的定义域是（0，+∞），
且f′(x)=a-

1

x

=

ax-1

x

，
…..（6分）
①当a≤0时，f"（x）＜0，
所以f（x）在（0，+∞）上是减函数．…..（8分）
②当a＞0时，令f"（x）=0，x=

1

a

．
所以当a∈(0 ，

1

a

)时，f"（x）＜0，f（x）在(0 ，

1

a

)上是减函数；
…..（10分）
当a∈(

1

a

  ，+∞)时，f"（x）＞0，f（x）在(

1

a

  ，+∞)上是增函数．
…..（12分）
所以当a≤0时，f（x）的递减区间是（0，+∞）；
当a＞0时，f（x）的递减区间是(0 ，

1

a

)，
f（x）的递增区间是(

1

a

  ，+∞)．…..（13分）